Théorème de Cayley

Théorème de théorie des groupes

En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

DémonstrationModifier

Soit G un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application tg de G dans G comme étant la translation à gauche :

 

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

 

On en déduit en particulier que tg est une permutation (de bijection réciproque tg−1), ce qui permet de définir une application t de G dans S(G) par :

 

D'après le premier théorème d'isomorphisme, t réalise donc un isomorphisme entre G et le sous-groupe Im(t) de S(G).

RemarquesModifier

  • Si G est d'ordre n, le groupe Sn dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
  • Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

UtilisationsModifier

HistoriqueModifier

Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[1]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[2], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870[3],[4] : les permutations tg sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, tg est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.

Notes et référencesModifier

  1. (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4,‎ , p. 40-47.
  2. Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, (1re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
  3. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, (lire en ligne), p. 60-61.
  4. Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, no 3,‎ , p. 202-203 (JSTOR 2321608).

Article connexeModifier

Lemme de Yoneda