Équivalent

fonctions ou suites en relation asymptotique

En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec , alors quand x tend vers l'infini, le terme 3x devient insignifiant devant le terme x2 ; on écrit alors x2, et on dit que f est équivalente à x2 en .

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.

L'équivalence pour les suitesModifier

DéfinitionsModifier

Soient   et   deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que   est équivalente à  , et on note   [1], si la suite   est négligeable devant la suite  .

En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit :  , et se traduit par l'existence d'une suite   qui tend vers zéro et vérifie   à partir d'un certain rang.

Cet assouplissement « à partir d'un certain rang », oublié dans certains manuels[2],[3],[4], est pourtant indispensable pour que la relation   ne dépende que du comportement asymptotique des suites que l'on compare, et non pas de l'éventuelle nullité de certains termes initiaux[5].

ExemplesModifier

  • Un équivalent de la somme partielle   d'ordre   de la série harmonique est   :  .
  • Un équivalent de la factorielle est donné par la formule de Stirling :  .
  • Soit π la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Le théorème des nombres premiers affirme que  .
  • Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang[6]. Cependant, la plupart des auteurs mettent en garde contre la notation  . Certains la proscrivent même avec virulence, au mieux ne s'autorisant à comparer que des suites non nulles à partir d'un certain rang[7], au pire proclamant que la seule suite équivalente à la suite nulle est elle-même[4].

PropriétésModifier

  • Dans le cas où la suite   ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :
     

Cette définition alternative est la plus parlante et souvent celle utilisée pour montrer l'équivalence.

  • Si deux suites sont équivalentes, alors elles ont la même limite. La réciproque est fausse.
  • Si une suite est équivalente à une constante   (rigoureusement la suite constante  ), la suite à pour limite cette constante  .
  • La relation   est, de façon attendue, une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes.
  • Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.

L'équivalence pour les fonctionsModifier

DéfinitionModifier

Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel, +∞ ou –∞).

On dit que f est équivalente à g en a, et on note   (ou simplement   lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction   définie sur un voisinage V de a telle que :

  •  
  •  

ExemplesModifier

  • Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.
  •  .

PropriétésModifier

  • Si g est non nulle au voisinage de a, on a :
     

Cette définition alternative est la plus parlante et souvent celle utilisée pour montrer l'équivalence.

  • En particulier, si   est une constante non nulle :
     
  • Dans les rares situations où  , alors f est nulle sur un voisinage de a.
  • La relation   est, de façon attendue, une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes.
  • Si f et g sont équivalentes en a, alors :
    • elles sont de même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a ;
    • elles tendent vers la même limite.
  • En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation   . Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

RemarquesModifier

Notes et référencesModifier

  1. une notation plus rigoureuse serait :   ; cependant les comportements asymptotiques des suites n'étant intéressants qu'à l'infini, le n est souvent omis.
  2. O. Ferrier, Analyse pour l'économie et la gestion, De Boeck Supérieur, (lire en ligne), p. 355.
  3. G. Godinaud et J.-J. Ruch, Fondamentaux d'analyse pour l'entrée dans le supérieur : Cours et exercices, Ellipses, (lire en ligne), p. 165.
  4. a et b H. Gras, C. Lebœuf et X. Merlin, Mathématiques approfondies - ECG 1re et 2e années, Ellipses, (lire en ligne), p. 207 : selon la définition de ces auteurs, pour que  , il faut qu'il existe une suite   telle que   pour tout indice n.
  5. Par exemple, on veut pouvoir dire que la suite   est équivalente à  , bien que le terme   ne soit pas un multiple de  .
  6. S. Pellerin, Mathématiques BCPST-1, Ellipses, (lire en ligne), p. 87.
  7. M. Gorny et A. Sihrener, ECG 1 - Mathématiques approfondies, Informatique : Tout-en-un, Dunod, (lire en ligne), p. 602.

Voir aussiModifier

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Comparaison asymptotique