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Équivalent

fonction ou suite équivalente
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir équivalence.

En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Les opérations sur les équivalents sont un outil de calcul.

Sommaire

L'équivalence pour les suitesModifier

DéfinitionsModifier

Soient   et   deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que   est équivalente à  , et on note  , si la suite   est négligeable devant la suite  .

En utilisant la notation petit « o », ceci s'écrit :  , et se traduit par l'existence d'une suite   qui tend vers zéro et vérifie   à partir d'un certain rang.

ExemplesModifier

  • Un équivalent de la somme partielle   d'ordre   de la série harmonique est  
  • Un équivalent célèbre est donné par la formule de Stirling :  
  • Soit π la suite dont le n-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Le théorème des nombres premiers affirme que  

PropriétésModifier

  • Dans le cas particulier où la suite   ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :
 
  • En particulier si   est une constante non nulle :
  converge vers   si et seulement si elle est équivalente à la suite constante égale à  .
  • La relation « être équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. complexes) qui sont non nulles à partir d'un certain rang.

L'équivalence pour les fonctionsModifier

DéfinitionModifier

Soient f et g deux fonctions, définies sur une partie A de ℝ, et à valeurs dans K = ℝ ou ℂ, et soit a un point adhérent à A (a peut être un réel ou +∞ ou –∞).

On dit que f est équivalente à g en a, et on note   (ou simplement   lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point a que l'on considère) s'il existe une fonction   définie sur un voisinage V de a telle que :

  •  
  •  

ExempleModifier

Un équivalent en ±∞ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré.

PropriétésModifier

  • Dans le cas particulier où g est non nulle au voisinage de a, on a :
     
  • En particulier, si   est un élément non nul de K :
     
  • La relation   est une relation d'équivalence.
  • Si f et g sont à valeurs réelles et si elles sont équivalentes en a, alors
    • elles ont même signe « localement autour de a », c'est-à-dire sur un certain voisinage de a,
    • si   alors   (et de même avec  ).
  • En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation « être équivalent à ». Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

RemarquesModifier

Voir aussiModifier

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Comparaison asymptotique