Produit infini

produit infini d'objets mathématiques

En mathématiques, étant donnée une suite de nombres complexes , on définit le produit infini de la suite comme la limite, si elle existe, des produits partiels quand N tend vers l'infini ;

De même qu'une série utilise la lettre ∑, un produit infini utilise la lettre grecque ∏ (pi majuscule) :

.

Convergence d'un produit infiniModifier

DéfinitionModifier

Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls[1], on dit que le produit infini, noté  , converge quand la suite des produits partiels   converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge[2],[3].

En cas de convergenceModifier

Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :

 .

La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple an = e1/n).

Méthode d'étude classiqueModifier

Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.

Puisque an tend vers 1, il existe un rang   tel que  . On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a

 .

Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.

On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.

Produit absolument convergentModifier

Un produit   est dit absolument convergent si la série   l'est, autrement dit si  . Un produit absolument convergent est donc convergent[4], et il est de plus commutativement convergent [3].

Théorème — Un produit   est absolument convergent si et seulement si la série   l'est, autrement dit si  

Dans le cas où la série   est convergente, le produit   est convergent si et seulement si la série   l'est.

On verra dans les exemples que la condition sur   est importante[3].

ExemplesModifier

Exemples de produits infinis divergentsModifier

  • Comme  , le produit infini   diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique.
  • Idem pour   qui diverge vers l'infini.
  • La divergence de la série des inverses des nombres premiers,   entraine celle des deux produits infinis correspondants :  et  .
  •   (car  ) mais on peut noter que   converge.

Exemples de produits infinis qui convergent, mais non absolumentModifier

  •   car   mais   diverge. Dans ce cas   converge également.
  • Il existe des exemples de produit   convergents où la série   est divergente [3].

Exemples de produits infinis convergents classiquesModifier

Parmi les exemples les plus connus de produits infinis se trouvent les formules suivantes exprimant des constantes mathématiques classiques :

  •   (formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques)
  •   (produit de Wallis (1655))
  •   (dû à Euler, voir produit eulérien)
  •   (dû à Euler, voir produit eulérien)
  •   (Euler (1796)[5], Catalan (1875)[6])
  •   (Catalan (1875)[7])
  •    est définie par  , suite  A007526 ; la formule vient du fait que  
  •   (Seidel (1871))
  •    est la suite de Prouhet-Thue-Morse[8],[9],[10].

Autres exemplesModifier

Un produit infini convergent « naturel » peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles ou aboutir à la création de nouvelles constantes, par exemple[11] :

  •  
  • Mais on a seulement  , où   est la suite de Prouhet-Thue-Morse
  •  , produit télescopique
  •  , m entier  , en particulier :
    •  , constante  A156648,
    •  , constante  A073017
    •  , constante  A258870
  •  , constante  A059956 ;  , constante  A082020
  •  , constante d'Artin
  •  , constante de Kepler-Bouwkamp
  •  , constante  A249673
  •  , constante  A240984.

Fonctions exprimées comme produits infinisModifier

Premiers exemplesModifier

  •  [12].

On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant z = π/2.

En changeant z en iz, on obtient :

  •  .

En prenant   dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithme[13],[14]:

  •  , formule donnant, pour x = 2, l'expression de ln 2 ci-dessus.
  •   pour Re(z) > 1, développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien, donnant pour z = 2 le développement de π2/6 ci-dessus.
  •   pour Re(z) > 1, donnant, pour z → 1, le développement de π/4 ci-dessus.

Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexeModifier

Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).

En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en   (comptés avec multiplicité), alors :

 

où les exposants   sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et   est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).

Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des   et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant   donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque p = 1 convient, on obtient :

 .

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque   est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

Exemples remarquablesModifier

On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

 

Formule due à Euler — le développement de Wallis pour π et celui de 2 ainsi que la valeur de   ci-dessus est issue de cette identité.

  Voir [15]

 

Formule due à Schlömilch — la valeur de   ci-dessus est issue de cette identité.

Notes et référencesModifier

  1. Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle en général pas de convergence, bien que la suite des produits partiels soit alors une suite stationnaire.
  2. Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 2 : Analyse complexe, PPUR, (lire en ligne), p. 345.
  3. a b c et d Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques tome 2, Analyse, Dunod Université, , p. 291-296
  4. Chatterji 1997, p. 348-349.
  5. Léonard Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale, t. 1, (lire en ligne), p. 142.
  6. E. Catalan, « Sur la constante d'Euler et la fonction de Binet », Journal de mathématiques pures et appliquées,‎ , p. 209-240 (lire en ligne), p. 236.
  7. Catalan 1875, p. 231.
  8. (en) D. R. Woods, « Elementary problem proposal E 2692 », Amer. Math. Monthly, vol. 85,‎ , p. 48.
  9. (en) D. Robbins, « Solution to Problem E 2692 », Amer. Math. Monthly, vol. 86,‎ , p. 394-395.
  10. Jean Moussa, « Quelques propriétés associées à la suite de Prouhet-Thue-Morse », Bulletin de l'APMEP,‎ , p. 199-206 (lire en ligne).
  11. (en) Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; Marichev, O. I., Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions, New York, Gordon & Breach, , p. 753-757
  12. Pour une démonstration, voir par exemple ce produit télescopique ou cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  13. (de) Ludwig Seidel, « Uber eine Darstellung de Logarithmus durch unendliche Produkte », Journal für die reine und angewandte Mathematik,‎ , p. 273-277 (lire en ligne).
  14. (en) Paul Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis, , 508 p. (lire en ligne), p. 354.
  15. L. Dreyfus, « Définition de sin z par un produit infini », Nouvelles annales de mathématiques,‎ , p. 147-156 (lire en ligne).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Infinite Product », sur MathWorld