Intégrale de Fresnel

L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

Formule de FresnelModifier

 
Les fonctions S(x) et C(x) non normalisées.
 

Ces égalités sont équivalentes à l'expression de l'intégrale de Fresnel complexe (par identification des parties réelle et imaginaire dans un sens et par combinaison linéaire dans l'autre) :

 

Convergence de l'intégraleModifier

Le calcul explicite (voir infra) montrera que l'intégrale de Fresnel converge, mais on peut s'en assurer plus simplement :

  • par le changement de variable  , la convergence de   équivaut à celle de   ;
  • d'après la règle d'Abel, pour tout λ > 0, l'intégrale   converge[1].

DéfinitionModifier

 
Les fonctions S(x) et C(x) normalisées.

Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :

 
 

Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument   dans les intégrales définissant S(x) et C(x). Les intégrales sont alors multipliées par   et les intégrandes sont divisés par x.

La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en +∞ des deux fonctions S et C non normalisées.

Calcul de l'intégrale de FresnelModifier

Par une intégrale à paramètreModifier

Considérons pour tout réel   la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par

 

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée en module par  , qui est intégrable en +∞.

Il est donc possible de poser  , la fonction définie pour tout   par l'intégrale à paramètre suivante :

 

On montre que   est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+* avec

 

En simplifiant l'expression de   et en l'intégrant de 0 à +∞, on en déduit que

 

On se sert alors de l'expression   sous la forme   et d'une intégrale classique :

 

pour en déduire que

 .

Par intégration complexeModifier

Il est aussi possible d'intégrer   sur le bord du secteur circulaire   de sommets   puis de faire tendre   vers l'infini.

 
Contour utilisé pour le calcul.
 

Intéressons nous d'abord à  .

 

après un changement de variable  . Or, sur  , la concavité de   donne

 

donc

 

donc

 

Le théorème des gendarmes donne ainsi  . Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss,  . De plus,  .

La fonction   est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que  

Dès lors,

 

donc

 .
Remarque
Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe   dont la partie réelle appartient à  ,
 
  désigne la fonction gamma. En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour  , ce qui, par changement de variable (voir supra), équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy.

Par les coordonnées polaires et le théorème de FubiniModifier

RéférenceModifier

  1. D. Ghorbanzadeh et al., Mathématiques du signal : Rappels de cours et exercices résolus, Dunod, , 3e éd. (lire en ligne), p. 6-7.

Articles connexesModifier