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DéfinitionsModifier

Soient A et B deux espaces topologiques, Γ une fonction multivaluée — ou « correspondance » — de A dans B, c'est-à-dire une application de A dans l'ensemble des parties de B, et a un point de A.

La correspondance Γ est dite

  • hémicontinue supérieurement en a si
    pour tout ouvert V contenant Γ(a)[1], il existe un voisinage U de a[2] tel que V contienne Γ(x) pour tous les x de U ;
  • hémicontinue inférieurement en a si
    pour tout ouvert V qui rencontre Γ(a), il existe un voisinage U de a[2] tel que V rencontre Γ(x) pour tous les x de U ;
  • continue en a si elle est hémicontinue en a, à la fois supérieurement et inférieurement ;
  • à valeurs fermées (resp. compactes, resp. quasi-compactes) si tous les Γ(a) sont fermés (resp. compacts, resp. quasi-compacts).

Le graphe de Γ est l'ensemble

 

Bien sûr, Γ est dite hémicontinue supérieurement, ou hémicontinue inférieurement, ou continue, lorsqu'elle l'est en tout point de A.

ExemplesModifier

 
Cette correspondance est hémicontinue inférieurement mais pas supérieurement.
  • Toute correspondance constante est continue (il est donc facile de construire des correspondances continues d'un compact dans lui-même et à valeurs non fermées).
  • La correspondance de ℝ dans ℝ définie par Γ(x) = {0} si x ≤ 0 et Γ(x) = [0, 1] si x > 0 (dont une variante est représentée ci-contre) est hémicontinue inférieurement mais pas supérieurement, puisqu'elle est à valeurs fermées mais que son graphe n'est pas fermé (cf. § « Théorème du graphe fermé » ci-dessous). Plus directement : elle n'est pas hémicontinue supérieurement au point 0 car l'ouvert ]–1, 1[ contient Γ(0) mais ne contient pas Γ(x) si x > 0.
  • Celle définie par Γ(x) = {0} si x < 0 et Γ(x) = [0, 1] si x ≥ 0 (dont une variante est représentée plus bas) est hémicontinue supérieurement, mais n'est pas hémicontinue inférieurement au point 0 car l'ouvert ]0, 1[ rencontre Γ(0) mais ne rencontre pas Γ(x) si x < 0.
  • Si tous les Γ(a) sont des singletons, autrement dit si Γ(a) = {f(a)} pour une certaine application f de A dans B :
    • Γ est hémicontinue supérieurement si et seulement si elle l'est inférieurement, et cette continuité de la correspondance Γ est équivalente à celle de l'application f.
    • le graphe de la correspondance Γ est égal à celui de l'application f (il est donc facile de construire des correspondances de ℝ dans ℝ, à valeurs compactes et de graphe fermé, qui ne sont hémicontinues ni supérieurement, ni inférieurement).

PropriétésModifier

CaractérisationsModifier

  • Γ est hémicontinue supérieurement si et seulement sipour tout ouvert V de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) est inclus dans V est un ouvert de Aou encorepour tout fermé F de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) rencontre F est un fermé de A.
  • Γ est hémicontinue inférieurement si et seulement sipour tout ouvert V de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) rencontre V est un ouvert de Aou encorepour tout fermé F de B, l'ensemble des points x tels que Γ(x) est inclus dans F est un fermé de A.

En particulier :

  • l'ensemble des x pour lesquels Γ(x) est non vide est fermé dans le premier cas et ouvert dans le second[3] ;
  • si le graphe de Γ est ouvert alors Γ est hémicontinue inférieurement (puisque pour tout point y de B, l'ensemble des x tels que y ∈ Γ(x) est ouvert). La réciproque est fausse mais si Γ est hémicontinue inférieurement et si d est un écart continu sur B alors, pour tout r > 0, le graphe de la correspondance suivante est ouvert : x ↦ {yB | d(y, Γ(x)) < r} (avec, par convention, d(y, ∅) = +∞).

OpérationsModifier

Sous certaines hypothèses ou restrictions, l'hémicontinuité est préservée par les opérations usuelles[3].

  • L'hémicontinuité supérieure ou inférieure est préservée par composition, en particulier par restriction.
  • Γ est hémicontinue inférieurement au point a si et seulement si sa fermeture Γ : xΓ(x) l'est.
  • Lorsque B est normal, si Γ est hémicontinue supérieurement au point a, alors Γ l'est aussi.
  • Lorsque B est un espace localement convexe :
    • si Γ est hémicontinue inférieurement au point a alors son enveloppe convexe co(Γ) : x ↦ co(Γ(x)) l'est aussi ;
    • si Γ est hémicontinue supérieurement au point a et si l'enveloppe convexe fermée co(Γ(a)) est compacte, alors co(Γ) et co(Γ) sont aussi hémicontinues supérieurement au point a.
  • L'hémicontinuité inférieure est préservée par unions quelconques, et l'hémicontinuité supérieure est préservée par unions finies.
  • L'hémicontinuité supérieure est préservée par intersections finies, mais pas l'hémicontinuité inférieure[4]. Cependant, l'hémicontinuité inférieure est préservée par intersection avec toute correspondance de graphe ouvert[5].
  • La propriété d'être hémicontinue supérieurement et à valeurs quasi-compactes (ou compactes) est préservée par produits quelconques, et l'hémicontinuité inférieure est préservée par produits finis.

Théorème du graphe ferméModifier

Les propriétés de compacité ou de fermeture du graphe sont intimement liées à l'hémicontinuité supérieure.

On peut d'abord généraliser le théorème classique sur l'image continue d'un compact :

Si Γ : AB est hémicontinue supérieurement et à valeurs quasi-compactes et si A est quasi-compact, alors le graphe de Γ est quasi-compact[6] (l'union des Γ(a) aussi[3],[7]).

Toute correspondance dont le graphe est fermé est évidemment à valeurs fermées. L'hémicontinuité supérieure assure une réciproque — analogue d'une propriété des fonctions continues à valeurs dans un espace séparé — et inversement, la fermeture du graphe assure l'hémicontinuité supérieure, sous une hypothèse de compacité :

Soit Γ : AB une correspondance.

  • Si Γ est hémicontinue supérieurement et à valeurs fermées et si B est régulier[8], alors le graphe de Γ est fermé dans A×B[9].
  • Si le graphe de Γ est fermé et si B est quasi-compact, alors Γ est hémicontinue supérieurement[9].

On en déduit :

Théorème — Si B est compact, le graphe de Γ : AB est fermé si et seulement si Γ est hémicontinue supérieurement et à valeurs fermées.

Caractérisations séquentiellesModifier

 
Cette correspondance ne vérifie pas le critère séquentiel d'hémicontinuité inférieure.

Les définitions et propriétés ci-dessus sont purement topologiques, mais la plupart des auteurs se limitent au cas des espaces métriques[10] (typiquement : des parties d'espaces euclidiens).

On suppose dans cette section que A et B sont métrisables[11].

Le graphe est alors fermé si et seulement s'il est séquentiellement fermé, c'est-à-dire si pour toutes suites convergentes ana dans A et bnb dans B telles que bn ∈ Γ(an), on a b ∈ Γ(a).

Le même principe fournit une caractérisation de l'hémicontinuité en termes de suites :

Une correspondance Γ : AB est

  1. hémicontinue supérieurement et à valeurs compactes si et seulement si, pour toutes suites ana dans A et bn ∈ Γ(an), la suite (bn) possède une valeur d'adhérence dans Γ(a)[3],[6],[12] ;
  2. hémicontinue inférieurement si et seulement si, pour toute suite ana dans A et tout b ∈ Γ(a), il existe une sous-suite (ank) de (an) et des bk ∈ Γ(ank) tels que bkb[3].

Topologies sur l'ensemble des partiesModifier

Si B est métrisable, Γ : AB à valeurs compactes non vides est continue en tant que correspondance si et seulement si elle l'est en tant qu'application à valeurs dans l'ensemble des compacts non vides de B, muni de la distance de Hausdorff[3].

Il existe aussi des topologies sur l'ensemble des parties de B qui caractérisent l'hémicontinuité supérieure et inférieure[13].

Analyse fonctionnelleModifier

Opérateur d'un espace de Banach dans son dual topologiqueModifier

Soit   un espace de Banach et   son dual topologique. Pour   et  , on pose :

 .

Un opérateur (non nécessairement linéaire)   de   dans   est dit hémicontinu si ses restrictions aux segments sont continues dans   faible-*[14], c’est-à-dire si pour tout  , l’application

 

est continue[15].

Opérateur d’un espace de Hilbert dans lui-mêmeModifier

En particulier, un opérateur   d'un espace de Hilbert   dans lui-même (canoniquement identifié à  ) est hémicontinu si et seulement si pour tout  , l’application

 

est continue, où 〈·, ·〉 désigne le produit scalaire de  .

Notes et référencesModifier

  1. Ou pour tout voisinage V de Γ(a).
  2. a et b Ou un ouvert U contenant a.
  3. a b c d e et f (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1994) (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), chap. 17 (« Correspondences »).
  4. Un contre-exemple est fourni par deux applications continues de A dans B telles que l'ensemble des points où elles coïncident ne soit pas ouvert.
  5. (en) George Xian-Zhi Yuan, The Study of Minimax Inequalities and Applications to Economies and Variational Inequalities, AMS, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society » (no 625), (lire en ligne), Theorem 1.7.
  6. a et b (en) Anton Badev et Matthew Hoelle, « Correspondences », p. 5.
  7. (en) Efe A. Ok, Elements of Order Theory (lire en ligne), « Appendix: A Primer on Topological Spaces », p. 22, prop. 1.7.7.
  8. Ou même seulement T3.
  9. a et b Démontré dans (en) Efe A. Ok, Real Analysis with Economics Applications, PUP, (ISBN 978-0-691-11768-3, lire en ligne), chap. E (« Continuity II »), p. 287-305 dans le cas particulier des espaces métriques.
  10. À moins de remplacer parfois la notion de suite par celle de suite généralisée, comme Aliprantis et Border 2007.
  11. Il suffirait de les supposer à bases dénombrables de voisinages et séparés.
  12. (en) Angel de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, CUP, (ISBN 978-0-521-58529-3, lire en ligne), p. 108-114.
  13. (en) Erwin Klein et Anthony C. Thompson, Theory of Correspondences: Including Applications to Mathematical Economics, John Wiley & Sons, .
  14. Dans le cas où V est un espace de Banach réflexif (identifiable à son bidual), les topologies faible et faible-* sont égales.
  15. Brezis 1966.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier