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Dual topologique

Espace des formes linéaires continues sur un espace vectoriel

DéfinitionModifier

Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps ℝ ou ℂ.

Le dual topologique E' de E est le sous-espace vectoriel de E* (le dual algébrique de E) formé des formes linéaires continues.

Si l'espace est de dimension finie, le dual topologique coïncide avec le dual algébrique, puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.

Mais dans le cas général, l'inclusion du dual topologique dans le dual algébrique est stricte.

Topologies dualesModifier

Dans certains cas, on peut définir canoniquement diverses topologies sur le dual.

Topologie faible du dualModifier

À tout vecteur   de   on peut faire correspondre l'application   de   dans ℝ définie par  . Cette application   est une semi-norme sur  . La topologie d'espace localement convexe définie par cette famille de semi-normes s'appelle la topologie faible du dual. C'est la topologie la moins fine rendant continues les applications f↦f(v).

Par construction, cette topologie sur E' est séparée.

Topologie forte sur le dual d'un espace norméModifier

Si E est un espace vectoriel normé, on peut définir une norme duale[1] ║ . ║ sur E' par

 

(C'est un cas particulier de la norme d'opérateur.)

E' muni de cette norme est appelé le dual fort de E. C'est un espace de Banach (cf. proposition 4 du § « Complétude » de l'article « Espace vectoriel normé »).

Il est important de remarquer que même en dimension finie, les espaces normés E et E', qui sont algébriquement isomorphes, ne sont pas isométriques en général. Par exemple, sur ℝn, les normes   et   sont duales l'une de l'autre, mais ne sont pas isométriques dès que n ≥ 3.

Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki affirme que la boule unité fermée du dual fort d'un espace de Banach est *-faiblement compacte.

On déduit alors du théorème de Krein-Milman que si la boule unité d'un espace de Banach E n'a aucun point extrémal (par exemple si E = L1([0, 1]) ou E = c0, l'espace des suites de limite nulle) alors E n'est le dual d'aucun espace.

L'espace 1, lui, est le dual de c0 et de nombreux autres espaces[2],[3], dont celui des suites convergentes (en) ou, plus généralement, des fonctions continues sur un compact dénombrable[4].

Dual topologique d'un espace préhilbertienModifier

Lorsque H est un espace préhilbertien[5], il existe une isométrie semi-linéaire (donc ℝ-linéaire) canonique j de H dans H' : pour tout élément v de H, j(v) est la forme linéaire continue définie par :

 

On démontre, grâce au théorème de représentation de Riesz, une propriété fondamentale :

Si H est un espace de Hilbert, l'injection j de H dans H' est surjective.

On en déduit (cf. § « Structure du dual » de l'article « Espace préhilbertien ») :

Pour tout espace préhilbertien H, l'injection j de H dans H' est d'image dense.

Bidual (topologique)Modifier

Alors que la notion purement algébrique du bidual ne présente aucune ambiguïté, il en est tout autrement pour les notions topologiques. En effet, selon la topologie retenue sur le dual, l'ensemble des formes linéaires continues sur ce dual pourra être plus ou moins gros.

Bidual d'un espace de Banach et réflexivitéModifier

Dans le cas d'un espace vectoriel normé E, ce qu'on appelle en général le bidual, noté E'', est le dual du dual fort.

Il existe une application naturelle de E dans son bidual, l'application d'évaluation

 

qui constitue une injection isométrique d'après le théorème de Hahn-Banach. Lorsque J est une bijection, l'espace E est dit réflexif.

Exemples : voir « Propriétés des espaces de suites ℓp » et « Dualité des espaces Lp ».

Théorème de Goldstine[6].
Pour tout espace vectoriel normé réel E, la boule unité de E'' est l'adhérence pour la topologie σ(E'', E') (la topologie faible-* sur E'') de l'image par J de la boule unité de E.

Notes et référencesModifier

  1. On pourrait aussi l'appeler norme polaire[réf. nécessaire] au vu des développements de l'article sur la jauge d'un convexe. Une norme est en effet une jauge dont la jauge polaire n'est autre que la norme duale.
  2. (en) D. Freeman, E. Odell et Th. Schlumprecht, « The universality of 1 as a dual space », Math. Annalen., vol. 351, no 1,‎ , p. 149-186 (lire en ligne [PDF]).
  3. (en) Dale E. Alspach, « A 1 predual which is not isometric to a quotient of C(α) », ArXiv,‎ (lire en ligne).
  4. Pour une étude plus systématique, voir Gilles Godefroy, « Espace de Banach, existence et unicité de certains préduaux », Ann. Inst. Fourier, vol. 28,‎ , p. 87-105 (lire en ligne).
  5. Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire ⟨ v, w ⟩ linéaire par rapport à v et semi-linéaire par rapport à w, comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Théorème de représentation de Riesz. La définition de l'application j varie naturellement en fonction de la convention choisie.
  6. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. 4, § 5, Prop. 5

Voir aussiModifier