Opérateur (mathématiques)

application entre deux espaces vectoriels topologiques

En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.


Définition d'un opérateurModifier

DéfinitionModifier

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

 

Opérateur linéaireModifier

Un opérateur   est linéaire si et seulement si :

 

K est le corps des scalaires de E et F.

RemarqueModifier

Lorsque E est un  -espace vectoriel, et que   (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)Modifier

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

ContinuitéModifier

Par définition de la continuité :

  • Soient O un opérateur de domaine   et à valeurs dans F, et  . L'opérateur O est dit continu en   si et seulement si pour tout voisinage V de  , il existe un voisinage   de   tel que :
 
  • L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points   de son domaine.

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2e édition-1995), (ISBN 3-540-58661-X).
  • B. Yosida, Functional Analysis, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6e édition-1995), (ISBN 3-540-58654-7).