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Opérateur (mathématiques)

application entre deux espaces vectoriels topologiques
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir opérateur.

En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.


Définition d'un opérateurModifier

DéfinitionModifier

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

 

Opérateur linéaireModifier

Article détaillé : Opérateur linéaire.

Un opérateur   est linéaire si et seulement si :

 

K est le corps des scalaires de E et F.

RemarqueModifier

Lorsque E est un  -espace vectoriel, et que   (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)Modifier

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

ContinuitéModifier

Par définition de la continuité :

  • Soient O un opérateur de domaine   et à valeurs dans F, et  . L'opérateur O est dit continu en   si et seulement si pour tout voisinage V de  , il existe un voisinage   de   tel que :
 
  • L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points   de son domaine.

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2e édition-1995), (ISBN 3-540-58661-X).
  • B. Yosida, Functional Analysis, série : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6e édition-1995), (ISBN 3-540-58654-7).