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Kurt Gödel

mathématicien austro-américain
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Kurt Gödel, né le à Brno et mort le à Princeton (New Jersey), est un logicien et mathématicien autrichien naturalisé américain [n 1] , [1].

Son résultat le plus connu, le théorème d'incomplétude de Gödel, affirme que n'importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Ces propositions sont qualifiées d'indécidables.

L'incomplétude et la cohérence (second théorème) ne peuvent pas être démontrées à l'intérieur du système.

Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il a aussi démontré la cohérence relative de l'hypothèse du continu, montrant qu'elle ne peut pas être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes soient cohérents. Il est aussi à l'origine de la théorie des fonctions récursives.

Il publie ses résultats les plus importants en 1931 à l'âge de 25 ans, alors qu'il travaille encore pour l'université de Vienne (Autriche).

BiographieModifier

EnfanceModifier

Kurt Gödel est le fils cadet de Rudolf Gödel, directeur et copropriétaire d'une grande entreprise textile de Brno [n 2], et de Marianne Handschuh [n 3]. Rudolf Gödel a deux fils : l'aîné, également prénommé Rudolf, et Kurt. Ni l'un ni l'autre ne suivent ses pas sur le chemin de l'industrie ou du commerce. Rudolf fils devient un médecin de renom à Vienne où il dirigera une clinique réputée.

Au sein de cette famille germanophone, le petit Kurt pose des questions avec tant d'insistance sur tout ce qu'il voit, qu'il est surnommé Der Herr Warum (Monsieur Pourquoi). À l'âge de six ans, il est frappé par une crise de fièvre rhumatismale,qui le cloue au lit pendant plusieurs jours, mais dont il se rétablit complètement, du moins physiquement [n 4]. À l'âge de douze ans, lors du démembrement de l'Autriche-Hongrie le ), il devient de fait Tchécoslovaque. À Brno, il est un brillant élève à l'école primaire, puis secondaire qu'il termine avec les honneurs en 1923. C'est à l'âge de quinze ans qu'il prend la ferme décision de se consacrer à la physique [n 5] , [2]

Études à VienneModifier

Bien que Kurt ait d'abord excellé en langues [n 6], à l'âge de dix-huit ans, il rejoint son frère à l'université de Vienne pour y entamer des études de physique, mais il abandonne ses études de physique assez rapidement. À cette époque-là, Philipp Furtwängler, un mathématicien allemand spécialisé en arithmétique supérieure, enseigne à Vienne, ses cours sont célèbres pour leur excellence et leur clarté [n 7]. Le jeune Gödel demeure tellement marqué par les cours de Furtwängler qu'il abandonne ses études de physique pour se consacrer aux mathématiques [n 8]. Nous savons très peu de choses sur la vie privée de Gödel pendant ses années d'études à Vienne. Il allait épouser une femme de dix ans son aînée, mais ses parents s'y opposent, et Kurt renonce à ce mariage. Apparemment, il consacrait le plus clair de son temps aux études. C'est cependant à l'université de Vienne qu'il rencontre celle qui deviendra — tardivement — sa femme, Adele Porkert [3].

C'est à cette époque qu'il adhère au réalisme mathématique. Il lit Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (Premiers principes métaphysiques de la science de la nature) de Kant. En 1926, il est invité par Moritz Schlick, son ancien professeur en philosophie des sciences à l'université, à assister aux réunions hebdomadaires du Cercle de Vienne dont Hans Hahn (futur directeur de thèse de Gödel), Rudolf Carnap, Ludwig Wittgenstein étaient membres [n 9]. Lors de ces réunions étaient abordés des sujets de mathématiques et notamment les solutions proposées par Russell, Brouwer et Hilbert au problème de la crise des fondements. C'est sans doute dans ce contexte que Gödel acquiert pour la première fois sa profonde connaissance du programme formaliste. Il assiste aux réunions avec assiduité jusqu'en 1928, uniquement en tant qu'auditeur. Après avoir participé au Cercle de Vienne, Gôdel décide, en 1928, de se consacrer définitivement à la logique mathématique. Il assiste à une conférence de David Hilbert à Bologne sur la complétude et la cohérence des systèmes mathématiques.

Durant l'année 1929, il achève sa thèse de doctorat portant sur un problème lié au programme de Hilbert et la soumet, le , à l'université de Vienne. Il la présente sous forme d'article la même année. Ce travail, qui constitue sa première publication scientifique, figure dans le numéro 37 (1930) de la revue Monatshefte für Mathematik und Physik sous le titre "La complétude des axiomes du calcul logique de premier ordre". En 1929 encore, Gödel devient citoyen autrichien, et en 1932, il obtient son diplôme à l'université de Vienne. La publication de son premier théorème d'incomplétude, en 1931, fait de Gödel une célébrité internationale dans le monde des mathématiques. Son nom commence à être cité dans tous les forums et congrès, et sa démonstration devient — et reste encore aujourd'hui — un classique du raisonnement mathématique. Il ne peut profiter immédiatement de sa célébrité méritée, car, une fois son article terminé, il connaît de graves troubles nerveux pendant plusieurs mois, conséquence indéniable du stress engendré par la présentation de son théorème. Quant au second théorème d'incomplétude, l'article de 1931 ne fournit que les grandes lignes du déroulement de sa démonstration, Gödel proposant de le démontrer dans une seconde partie de l'article. Cependant, ses troubles nerveux l'empêchent de le rédiger dans les mois qui suivent et, lorsqu'il est enfin remis, il se rend compte que les démonstrations de ses deux théorèmes — y compris celle du second simplement évoquée — sont si bien acceptées que toute clarification ultérieure serait inutile. Après avoir surmonté ses troubles nerveux, il devient en 1933 Privatdozent (maître de conférences) de l'université de Vienne.

Il est invité la même année à donner une conférence lors de la réunion annuelle de la American Mathematical Society aux États-Unis. Lors de ce premier voyage, il fait la connaissance d'Albert Einstein qui y avait émigré en 1932. Entre eux naît une amitié cordiale qui durera jusqu'en 1955, année du décès d'Einstein. Au cours des deux années suivantes, 1934 et 1935, il se rend à nouveau aux États-Unis où il est invité à deux reprises par l'Institut d'Études avancées de Princeton. Il y donne plusieurs cours et conférences [n 10] sur ses deux théorèmes d'incomplétude et aussi sur d'autres thèmes — qu'il avait abordés lors de recherches ultérieures —, dont la calculabilité et les fonctions récursives, si bien qu'il donne une conférence sur les fonctions récursives générales et le concept de vérité. Au cours de ses voyages aux États-Unis, Gödel expose ses méthodes, ses idées, les problèmes auxquels il réfléchit et cela suffit à stimuler le développement de l'école américaine de logique mathématique [n 11] ainsi que la logique mathématique en général.

Cependant, après l'assassinat le de Moritz Schlick (dont le séminaire avait fait naître son intérêt pour la logique) par Johann Nelböck, un jeune étudiant aliéné, Gödel est particulièrement affecté et traverse sa première dépression. Il retourne à Princeton plus tard la même année. Les voyages et ses travaux l'ont épuisé, si bien que la plus grande partie de l'année suivante doit être consacrée au traitement d'une nouvelle dépression. Il revient à l'enseignement en 1937, période durant laquelle il travaille sur la preuve de cohérence relative et celle d'indépendance de l'hypothèse du continu. Il échoue sur l'indépendance (qui ne sera démontrée qu'en 1963, par Paul Cohen), mais il réussit à établir que cette hypothèse ne peut pas être réfutée à partir des axiomes de la théorie des ensembles.

Après l'Anschluss de 1938, l'Autriche tombe dans le giron de l'Allemagne nazie. Cette dernière ayant aboli le titre de Privatdozent, Gödel perd son emploi. Cela ne l'empêche pas de se marier à l'université de Vienne, le , avec Adele Porkert, une danseuse divorcée de six ans son aînée, qu'il avait rencontrée en 1927. Ses liens avec des professeurs juifs, comme son tuteur de thèse Hans Hahn, lui causent des problèmes. En 1938 et 1939, il se rend à nouveau à l'Institut d'études avancées et, au cours de ces voyages, en plus de donner ses cours et conférences habituels, il rassemble les contacts institutionnels nécessaires pour préparer sa future admission en tant que professeur, au cas où il devrait quitter l'Autriche. De retour à Vienne, après son second voyage, il est attaqué par un groupe d'étudiants d'extrême droite [n 12]. Sa présence en tant qu'intellectuel indépendant étant une gêne pour les nazis, en , il est inscrit sur une "liste noire". Cette inscription officialise son statut de chômeur et, sous le régime nazi, les chômeurs sont presque systématiquement recrutés par l'armée. En effet, peu de temps après, il reçoit l'ordre de recrutement qu'il redoute. Comme simple réponse, en , Kurt Gödel et Adele Porkert fuient l'Autriche pour se rendre aux États-Unis par le chemin le plus long, à travers la Russie, le Japon et l'océan Pacifique [n 13]. Ils arrivent à San Francisco le suivant, après avoir emprunté le Transsibérien et traversé l'océan Pacifique le plus discrètement possible, de peur d'être arrêtés. [4] , [5] , [4] , [6].

Émigration aux États-UnisModifier

 
Le campus de l’Institute for Advanced Study.

Grâce à ses contacts, Gödel peut obtenir immédiatement un poste de professeur invité à l'Institut d'études avancées de Princeton. En 1946, il y est intégré de façon permanente et, à la fin de l'année 1947, il doit subir un examen en vue de sa naturalisation, avec pour témoins ses amis Oskar Morgenstern et Albert Einstein. Pour une personne possédant ses références, il s'agit d'une formalité, mais Gödel se prépare avec une extrême minutie, et alors qu'il étudie la constitution américaine, il pense y découvrir une faille logique qui permettrait de transformer en toute légalité le régime politique du pays en régime dictatorial. Il fait part de sa découverte à ses deux amis, fort inquiets que Gödel n'aborde le sujet avec le juge chargé de l'entretien préalable à la naturalisation. Tous deux sont convaincus d'avoir réussi à en dissuader Gödel, mais en quelques phrases le sujet revient : le juge s'enquiert d'abord du régime politique en vigueur en Autriche, Gödel répond que celui-ci, autrefois une démocratie, s'est transformé en dictature ; le juge rétorque qu'une telle chose ne pourrait arriver en Amérique, mais Gödel soutient le contraire, et dit qu'il peut le prouver. Le juge, qui connaît Einstein, décide de terminer l'entretien sans son explication, qui ne sera jamais révélée [7], [n 14] , [8].

Fin de vieModifier

 
Pierre tombale de Kurt Gödel.

Approchant de la mort, il se fait de plus en plus de souci pour sa santé, se convainc de l'existence d'un complot visant à l'empoisonner. Il cesse alors de s'alimenter [9], tombant progressivement dans la cachexie. Il meurt le , à Princeton (New Jersey, États-Unis) ; il pesait alors environ 30 kilos [10].

PortraitModifier

Enfant timide et introverti, il demeure toujours très attaché à sa mère — dotée d'une grande sensibilité artistique — et se sent quelque peu perdu lorsqu'elle n'est pas à la maison. Son caractère timide et introverti le suivra toute sa vie. Il n'est pas un boute-en-train, ne fait rire personne avec ses plaisanteries, mais n'en a pas non plus besoin. La crise de fièvre rhumatismale qui l'a frappé à l'âge de six ans est, selon son frère médecin, responsable de sa profonde hypocondrie, une des principales caractéristiques de sa personnalité [n 15].

Visions métaphysiquesModifier

Âgé de 70 ans, Gödel, qui est profondément mystique, fait circuler parmi ses amis une élaboration basée sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu, inspirée de l'argument d'Anselme de Cantorbéry et de considérations de Leibniz. Cette élaboration est maintenant connue sous le nom de «preuve ontologique de Gödel». Il s'intéressait aussi beaucoup aux visions des grands mystiques comme sainte Catherine Emmerich ou de Grégoire Palamas [11].

Gödel, en plus de sa croyance en Dieu, s'interroge sur l'existence des anges et du diable. Laurent Lemire rapporte : « Kurt Gödel, (...) auteur du théorème d'incomplétude, croit aux anges et au diable dans un univers mathématique, un univers « idéal », par opposition à l'univers réel perceptible, dans lequel vivraient les «anges» et «démons», comme nous vivons dans l'univers réel. Persuadé qu’on veut l’empoisonner, il meurt, volontairement affamé. » [9] , [n 16]. Cela était une conséquence de ses réflexions sur l'intuition et l'incomplétude, puisque l'intuition a parfois produit des thèses mathématiques ne pouvant être prouvées ou infirmées mathématiquement. Il considère que soit le cerveau est une machine de Turing, et il existe donc des problèmes indécidables pour l'humain, ce qui signifie que « les propriétés mathématiques qui nous échappent ont une existence autonome » [12], soit le cerveau surpasse les machines de Turing, et donc l'esprit humain est «une réalité indépendante du monde sensible» [12]. La difficulté de cette vision est la communication du cerveau, matériel et fini, avec cet univers idéel : il envisage l'existence d'un «organe de l'intuition» ayant accès à cet univers idéel [n 17], malgré les difficultés de cette spéculation.

Une conséquence de sa vision d'un monde réel limité voulu par Dieu, est que la recherche, la métaphysique ou la philosophie, sont en contradiction avec cette volonté de limitation de la compréhension du monde. Ce point alimente sa paranoïa, et il va même jusqu'à estimer les grands penseurs en danger [n 18] , [n 19]. Gödel préfère rester discret sur cette vision des choses, qui n'est décrite que dans ses notes personnelles : « je ne rends publiques que les parties de ma philosophie qui se prêtent le moins à la controverse » [13], à cause de l'esprit du temps, à la fois réception de ses confrères et ordre du monde.

ParcoursModifier

Travaux à VienneModifier

Il prouve dans sa thèse, présentée le la complétude de la logique classique du premier ordre, c'est-à-dire que toute formule valide est démontrable, résultat qui fut publié par l'Académie des sciences de Vienne. Le théorème démontré, connu aujourd'hui comme Théorème de complétude de Gödel, est interprété à l'époque comme un indice révélant que le programme de Hilbert est réalisable. Une fois établie la base logique permettant d'effectuer des démonstrations vérifiables à l'aide d'un algorithme, il ne reste plus qu'à découvrir les axiomes permettant de démontrer toutes les vérités arithmétiques.

Malheureusement pour le programme de Hilbert, cet objectif est inatteignable. Le théorème énonçant cette impossibilité est connu sous le nom de premier théorème d'incomplétude, exposé ouvertement pour la première fois au congrès de Königsberg le . L'article contenant le développement de la démonstration est envoyé au magazine Monatshefte für Mathematik und Physik en novembre et paraît dans l'édition N°38 en 1931. Il prouve que pour tout système axiomatique assez puissant pour décrire les nombres naturels, on peut affirmer que :

  1. il ne peut être à la fois cohérent et complet (ce qui est le théorème connu sous le nom de « premier théorème d'incomplétude ») ;
  2. si le système est cohérent, alors la cohérence des axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du système (ce qui est le théorème connu sous le nom de « second théorème d'incomplétude ») .

L'article ne contient pas de démonstration détaillée de ce second théorème, mais en expose les grandes lignes.

Le principe du théorème d'incomplétude est simple. Gödel a essentiellement bâti « une formule qui énonce qu'elle n'est pas démontrable » dans un système formel donné. Si cette formule était démontrable, cela signifierait que l'on pourrait démontrer « qu'elle n'est pas démontrable », d'où la contradiction. Donc, cette formule n'est pas démontrable. C'est bien ce qu'elle énonce, donc elle est valide. Il existe donc une formule valide non démontrable [n 20].

Pour préciser ces faits, Gödel a eu besoin de résoudre de nombreux problèmes techniques, comme le « codage des démonstrations » et « le concept même de démontrabilité » au sein des nombres entiers. Il a aussi eu besoin d'un procédé pour décrire une formule qui énonce sa propre non-démontrabilité : le procédé « diagonal ». Ces détails sur la forme expliquent pourquoi sa publication de 1931 est aussi longue et ardue à lire et pourquoi ses contemporains, à l'exception notable de John von Neumann et Alfred Tarski, n'ont pas compris son résultat [14]

Travaux à PrincetonModifier

À Princeton, il se tourne encore plus vers la philosophie[n 21] et la physique. Entre 1943 et 1946, il étudie de « façon assez systématique » les travaux de Leibniz [15]. Il étudie aussi, à un moindre degré, ceux de Kant et de Husserl.

Il poursuit ses travaux de logicien et publie en 1940 The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Il introduit dans ce travail la notion d'univers constructible, modèle de la théorie des ensembles dans lequel les seuls ensembles existants sont ceux qui peuvent être construits à partir d'ensembles plus élémentaires. Gödel prouve qu'aussi bien les axiomes de choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans un univers constructible, et doivent donc être cohérents. Il a aussi l'intuition de la notion de problème NP-complet [16].

À la fin des années 1940, il démontre l'existence d'une solution paradoxale aux équations de la théorie de la relativité générale d'Einstein. Les « univers tournants » auraient rendu possible le voyage dans le temps, et poussent Einstein à douter de sa propre théorie (univers de Gödel). Aujourd'hui, ce type de solution est considéré comme une curiosité mathématique sans grand intérêt physique, mais dont le mérite est d'avoir stimulé la recherche d'autres solutions exactes aux équations d'Einstein.

HonneursModifier

En , Gödel reçoit avec le physicien Julian Schwinger le premier prix Einstein, puis est nommé docteur honoris causa dans plusieurs universités dont Yale et Harvard, et se voit décerner la National Medal of Science en 1974.

DistinctionsModifier

ŒuvresModifier

  • Collected Works, Oxford University Press, 5 volumes publiés de 1986 à 2003 sous la direction de Solomon Feferman, J. W. Dawson, Stephen Cole Kleene, Gregory H. Moore, Robert Martin Solovay et Jean van Heijenoort.
    • vol. I : Publications 1929-1936.
    • vol. II : Publications 1938-1974.
    • vol. III : Unpublished Essays and Lectures
    • vol. IV : Correspondence A-G
    • vol. V : Correspondence H-Z

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Le plus souvent considéré comme autrichien, il est né à Brno en Autriche-Hongrie, est naturalisé tchécoslovaque à 12 ans, puis autrichien à 23 ans. Lorsque Hitler ordonne l'annexion de l'Autriche, Gödel devient allemand (il a alors 32 ans). Il part aux États-Unis pendant la Seconde Guerre mondiale, et obtient la double nationalité austro-américaine à 42 ans. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. p. 53
  2. Ce qui n'est pas peu dire, puisque Brno figurait parmi les villes industrielles les plus importantes de l'Empire austro-hongrois et se démarquait par la qualité et le nombre de ses industries textiles.Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. p. 17.
  3. Sa mère Marianne était allemande et avait étudié la littérature en Allemagne et en France. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.18
  4. Il découvrit, à travers ses lectures, que la fièvre rhumatismale peut laisser une faiblesse chronique du cœur et sera convaincu durant toute sa vie que, si son cœur se refroidissait, il en mourrait, si bien que même dans les jours d'intense chaleur, Gödel s'habillait toujours chaudement. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.18-19
  5. Dans une lettre de 1946, Gödel reconnaît que son étude en 1921 du traité des couleurs de Goethe, et sa contestation de la théorie de Newton, ont indirectement contribué à sa vocation. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. p. 53
  6. Dans sa jeunesse, il parlait et écrivait un français et un anglais parfaits. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.18
  7. Furtwängler était paraplégique et dictait à un assistant, depuis son fauteuil roulant, les notes à inscrire au tableau. Les étudiants inscrits à ses cours étaient si nombreux qu'ils étaient répartis en deux groupes, et chaque leçon devait être donnée deux fois, une pour chaque groupe. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.55
  8. C'est sans doute un exemple remarquable de la façon dont un professeur peut influencer la vie de ses élèves. Quoi qu'il en soit, quelque vingt-cinq ans plus tard, à Princeton, Gödel eut l'opportunité d'étancher sa "soif" de physique. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.55
  9. Quand il reçut son invitation à rejoindre le Cercle, Gödel n'était qu'un simple étudiant, ce qui en dit long sur la reconnaissance qu'il commençait à gagner auprès de ses professeurs. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.56.
  10. Série de conférences intitulée « De l'indécidabilité des postulats des systèmes mathématiques formels ». Stephen Kleene et J. Barkley Rosser prennent en note ces conférences, publiées dans les Œuvres complètes de Gödel.
  11. Dans laquelle s'illustrèrent Willard Van Orman Quine, Stephen Cole Kleene et Alonzo Church. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. |p=92
  12. Que son épouse fit fuir à coups de parapluie. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel |p=94
  13. La guerre entre l'Allemagne, la France et le Royaume-Uni avait déjà commencé. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel |p.94
  14. Une page retraçant la découverte du seul témoignage direct de cette anecdote, rédigé par Morgenstern, et prouvant définitivement qu'il ne s'agit pas d'une légende urbaine. La conclusion de l'histoire — quelle contradiction Gödel avait découverte ? — n'est pas révélée. Il est naturalisé citoyen américain en 1948. Il obtient un poste de professeur à l'Institut en 1953, refuse le titre de professeur honoraire en 1975 et devient professeur émérite en 1976. . Réf.(en) Kurt Gödel: A Contradiction in the U.S. Constitution?,
  15. Elle fut peut-être également la source des nombreux problèmes de santé, d'origine physique ou psychologique, dont souffrirait le grand génie tout au long de sa vie et qui, à de nombreuses reprises, le maintinrent prostré pendant des semaines, à l'écart de tout travail intellectuel. Réf. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) Deux théorèmes qui révolutionnèrent les mathématiques : Gödel. P.19
  16. « Les idées sont-elles aux anges ce que la matière est pour nous ? » (note de Kurt Gödel), Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 94.
  17. « La position d'un œil mathématique est l'une des thèses les plus stables de la métaphysique de Gödel. Elle apparaît dès les cahiers philosophiques et s'affirme encore dans les conversations avec Wang Hao. », Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 94-95.
  18. Kurt Gödel déclare « Husserl a atteint la fin, il est arrivé à la science de la métaphysique. [Mais] il a dû cacher sa grande découverte. La philosophie est une science persécutée. S'il n'avait pas caché [sa découverte], la structure du monde aurait pu le tuer », rapporté par Wang Hao dans A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, p. 167), tiré en l'état de Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 94.
  19. « Les philosophes sont persécutés. Il y a un complot contre Leibniz. Gödel est persuadé qu'une société secrète s'attache à détruire les écrits de celui-ci. », Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 101.
  20. Une démonstration moderne du théorème d'incomplétude consiste à démontrer que l'ensemble des formules valides n'est pas récursivement énumérable. Comme l'ensemble des théorèmes est à l'évidence récursivement énumérable et inclus dans celui des formules valides, ces deux ensembles sont disjoints ; d'où le résultat.
  21. Selon Wang, « son travail est devenu plus philosophique que mathématique [15]. »
  22. C'est une organisation internationale pour la promotion de la recherche dans les champs de la logique, de la philosophie et de l'histoire des mathématiques

RéférencesModifier

  1. Denis Huisman, Dictionnaire des philosophes, Paris, Presses universitaires de France, , 1532 p. (ISBN 2130455247, 9782130455240 et 2130455255, OCLC 214938890, lire en ligne), « Gödel/Jacques Dubucs », p. 1146-1148
  2. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) 2018, p. 17-19/53
  3. Palle Yourgrau 2005, p. 17
  4. a et b Palle Yourgrau 2005, p. 114
  5. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Kurt Gödel », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  6. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) 2018, p. 53-57/89-94
  7. Palle Yourgrau, Einstein/Gödel. Quand deux génies refont le monde,  éd. Dunod (2005), p. 129, qui s'appuie sur (en) John Dawson, Logical Dilemmas: The Life and Works of Kurt Gödel, Wellesley (Mass.),  éd. A. K. Peters (1997).
  8. (en) Institute for Advanced Studies, « Gödel, Einstein and the Immigration Service », The Institute Letter, Princeton, New Jersey,‎ , p. 7 (lire en ligne).
  9. a et b Françoise Monier, « Laurent Lemire se passionne pour les génies atteints de folie », L’express,‎ (lire en ligne)
  10. Palle Yourgrau 2005, p. 14.
  11. Jean Staune - Notre existence a-t-elle un sens ? - Presses de la Renaissance-2007-p. 427.
  12. a et b Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 121-123.
  13. rapporté par Wang Hao dans A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, p. 235), tiré en l'état de Pierre Cassou-Noguès 2007, p. 22.
  14. Gustavo Ernesto Piñeiro et Julie Soubeyrand (Trad.) 2018, p. 57/65-66/68-85/89
  15. a et b Jacques Bouveresse, « Mathématiques et logique chez Leibniz », Revue d'histoire des sciences, t. 54, no 2,‎ , p. 225 (lire en ligne, consulté le 19 aout 2018).
  16. Jean-Paul Delahaye, « Un algorithme à un million de dollars ? », Pour la science, no 34,‎ (lire en ligne, consulté le 13 mars 2015)
  17. The Kurt Gödel Society

Voir aussiModifier

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BibliographieModifier

Fournit, entre deux commentaires informels, une traduction en français de la démonstration originelle de Gödel de ses théorèmes d'incomplétude.

Articles connexesModifier

Liens externesModifier