Dérivée extérieure

En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.

Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

DéfinitionModifier

Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'algèbre graduée anti-commutative des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire  , appelé dérivée extérieure, vérifiant :

  • si ω est de degré k alors dω est de degré k + 1 ;
  • en notant le produit extérieur, si α est de degré k, on a :   ;
  • le carré de d est nul : d(dω) = 0 ;
  • pour toute 0-forme, c'est-à-dire toute fonction lisse f, la 1-forme df est la différentielle de f.

Les éléments du noyau de d sont appelés les formes fermées, et ceux de son image les formes exactes.

Expression en coordonnées localesModifier

Pour une k-forme   sur ℝn, la différentielle s'écrit

 

En particulier, pour une 0-forme (i.e. une fonction)  , on retrouve l'expression de la différentielle:

 

ExempleModifier

Pour une 1-forme sur ℝ2,

 

on a :

 

ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.

FonctorialitéModifier

La différentielle extérieure commute au pullback, c'est-à-dire que pour toute application différentiable f : MN et toute forme ω sur N, f*(dω) = d(f*ω).

Formule invarianteModifier

Étant donnée   de degré k et des champs vectoriels arbitraires lisses  , on a

 
 

  dénote le crochet de Lie et  

En particulier, pour les 1-formes :

 

et pour les 2-formes :

 

Lien avec le calcul vectorielModifier

La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.

GradientModifier

Pour une 0-forme sur ℝn, c'est-à-dire une fonction lisse  , on a

 

Alors

 

  dénote le gradient de f et   est le produit scalaire.

RotationnelModifier

Pour une 1-forme   sur ℝ3 (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),

 

Grâce au produit vectoriel sur ℝ3, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs  , appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)

 

  est le produit scalaire et   est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel

 

Le fait que le rotationnel ainsi défini (comme le dual de Hodge de la dérivée extérieure du champ de vecteurs identifié à une 1-forme) s'identifie à un vecteur est propre à la dimension 3. De façon générale, ce n'est pas le cas, en particulier en dimension 4, le "rotationnel" ainsi défini est un objet (une 2-forme) de dimension 6, que l'on ne peut donc pas identifier à un vecteur (de dimension 4). Il n'y a pas de généralisation du rotationnel en dimension autre que 3.

DivergenceModifier

Pour une 2-forme   on a :

 

En trois dimensions, avec   on obtient :

 

V est un champ vectoriel defini par  

De façon générale (en dimension n quelconque), on peut définir un analogue de la divergence d'un champ de vecteurs   en identifiant ce champ à une (n-1)-forme   dont on prend le dual de Hodge de la dérivée extérieure. On a alors:

 

soit encore  , où   désigne la forme volume canonique.

Formules courantes d'analyse vectorielleModifier

À l'aide des redéfinitions ci-dessus, les formules suivantes sont une simple conséquence de   dans   :

  •  
  •  

En notant   l'espace des k-formes sur  , on peut se représenter la chaîne:

 

La première flèche correspond au gradient, la seconde au rotationnel, la troisième à la divergence:

 

RéférenceModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exterior derivative » (voir la liste des auteurs).

Articles connexesModifier