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Produit vectoriel

Opération entre deux vecteurs dans un espace euclidien orienté de dimension 3, dont le résultat est un vecteur orthogonal aux deux vecteurs

HistoireModifier

RésuméModifier

En 1843, Hamilton inventa les quaternions qui permettent de définir le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844), Grassmann définissait dans Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik un « produit géométrique » à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire[3]. De même, Hamilton a lu les travaux de Grassmann et les a commentés et appréciés[4]. Plus tard Maxwell commença à utiliser la théorie des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifia profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle. Il s'intéressa aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette préférence pour le premier[2]. En 1881, Gibbs publia Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics s'inspirant des travaux déjà réalisés, notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques que bien plus tard, et après plusieurs modifications.

AnecdoteModifier

Peter Guthrie Tait, dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions, qualifia le nouveau formalisme créé par Gibbs de « monstre hermaphrodite, composé des notations de Hamilton et Grassmann »[5].

NotationModifier

Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :

Dans cet article, nous utiliserons la première convention (avec ou sans flèches sur les vecteurs).

DéfinitionModifier

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Par le choix d'une base orthonormée, E peut être identifié avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.

D'un point de vue géométrique,

le produit vectoriel de deux vecteurs   et   de E non colinéaires se définit comme l'unique vecteur   tel que :

  • le vecteur   est orthogonal aux deux vecteurs donnés ;
  •   ;
  • la base   est de sens direct,

et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul par définition.

 
Le produit vectoriel (bleu) est perpendiculaire aux deux vecteurs (rouge) et son module est égal à la surface du parallélogramme défini par ces deux derniers

En particulier :

  • deux vecteurs sont colinéaires si (et seulement si) leur produit vectoriel est nul ;
  • deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si la norme de leur produit vectoriel est égale au produit de leurs normes ;
  • le module du produit vectoriel   est égal à la surface du parallélogramme défini par les deux vecteurs   et  .

La notion d'orientation peut ici être comprise de manière élémentaire en utilisant la règle de la main droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un trièdre indiquent respectivement le sens de  , de   et de  . Cette définition, utilisée dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante, mais reste une approche adaptée aux applications, en particulier en physique (voir l'article orientation (mathématiques) pour une approche plus théorique).

Définition par le produit mixteModifier

Une seconde définition[N 5] utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w, noté [u, v, w], est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormale directe quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base directe ; géométriquement il est égal au volume orienté du parallélépipède appuyé sur les vecteurs u, v, w.

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur uv tel que, pour tout w, on a :  

Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.

Avec une telle définition, il est possible de définir, dans un espace vectoriel orienté de dimension n + 1, le produit vectoriel de n vecteurs.

Calcul en composantesModifier

 
Une méthode pour calculer le produit vectoriel grâce aux composantes.

Le choix arbitraire d'une base orthonormée directe donne une identification de E et de R3. Notons les coordonnées u = (u1, u2, u3) et v = (v1, v2, v3). Leur produit vectoriel est donné par[N 6] :

 .

Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées.

PropriétésModifier

Propriétés algébriquesModifier

  • Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif :
    • Distributivité par rapport à l'addition :
       ,
    • Compatibilité avec la multiplication par un scalaire :
       ,
    • Antisymétrie :
       .

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.

  • Il n'est pas associatif — c'est-à-dire qu'en général u ∧ (vw) n'est pas égal à (uv) ∧ w — et plus précisément, il vérifie les égalités du double produit vectoriel :
 .

 .

  on peut démontrer facilement l'égalité   que l'on peut aussi écrire sous la forme :   ce qui équivaut à l'identité trigonométrique et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.

  • Les premières propriétés algébriques ci-dessus (bilinéarité et formule du double produit vectoriel) fournissent une solution au problème de la division vectorielle ux = v, où l'inconnue est le vecteur x et les données sont les deux vecteurs u et v, en supposant u non nul et orthogonal à v (sans quoi la résolution est instantanée). En effet, de u ∧ (vu) = ║u2v, on déduit que x0 = (vu)/║u2 est une solution. Or le noyau de l'application linéaire xux est la droite vectorielle Ru, donc l'ensemble des solutions de cette équation linéaire est x0 + Ru.

Invariance par isométriesModifier

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a :  

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car f préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.

Produit mixte : L'isomorphisme linéaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut être calculé dans l'image par f de la base orthonormée directe dans laquelle le produit mixte de u, v et w est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :

 

f(w) parcourt tout l'espace vectoriel quand w le parcourt puisque f est une bijection, d'où l'égalité souhaitée.

Définitions alternativesModifier

Comme produit de LieModifier

Toute isométrie directe de R3 est une rotation vectorielle. L'ensemble des isométries directes forme un groupe de Lie classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL3(R)). Son algèbre de Lie, notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl3(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique M de taille 3 s'écrit de manière unique :   En identifiant M et le vecteur (a, b, c), on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R3. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R3 hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet [u, v] de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de u et de v.

En effet, si u1 = (a1, b1, c1), et u2 = (a2, b2, c2), leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes M1 et M2 :

 

Le vecteur correspondant, à savoir [u1, u2], a donc pour coordonnées (b1c2b2c1, a2c1a1c2, a1b2a2b1). Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par isométries   En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R3. L'action (linéaire) de SO3(R) sur R3 s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO3(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

Comme produit de quaternions imaginairesModifier

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique est (1, i, j, k) où le sous-espace engendré par i, j et k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R3. Ces éléments vérifient :   ;  . Si q1 = a1i + b1j + c1k et q2 = a2i + b2j + c2k, le produit q1q2 se calcule immédiatement :   La partie réelle est au signe près le produit scalaire de q1 et de q2 ; la partie imaginaire est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R3.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.

Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q1, q2 sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :

 

pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

Par le produit tensorielModifier

Article connexe : Produit tensoriel.

Soient deux vecteurs à trois composantes ui et vj. On peut définir le tenseur

 

qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :

 

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique :

 

qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :

 

qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors « transformer » ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita   (ce dernier est un pseudo-tenseur dont la définition fait intervenir la métrique et l'orientation) :

 

(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur zk est le produit vectoriel de ui et vj.

Exemple pour des vecteurs à 3 composantes (i, j et k variant de 1 à 3):

 .

On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change, ce qui illustre l'antisymétrie du produit vectoriel. En outre le résultat est un « pseudovecteur » puisqu'il est renversé si on change l'orientation de l'espace.

À partir des propriétés algébriquesModifier

On appelle produit vectoriel sur un espace euclidien V une application bilinéaire notée[7] ×, allant de V × V vers V, , ayant les propriétés suivantes[8],[9] :

    (orthogonalité),

et :

    (relation entre les normes),

où (x·y) est le produit scalaire et |x| est la norme du vecteur x. Une formulation équivalente, utilisant l'angle θ entre les vecteurs[10], est[11] :

 

ce qui est l'aire du parallélogramme (dans le plan de x et y) ayant les deux vecteurs pour côtés[12]. Il est également possible de montrer que l'expression suivante est équivalente aux deux précédentes[13] :

 

On démontre alors qu'un produit vectoriel non trivial ne peut exister qu'en dimensions trois et sept[11] ; de plus, en dimension trois, ce produit vectoriel est unique au signe près.

ApplicationsModifier

MécaniqueModifier

On définit l'opérateur rotationnel comme suit :   En mécanique du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur. D'autre part, les équations de Maxwell sur l'électromagnétisme s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides, notamment celles de Navier-Stokes.

Le moment d'une force est défini comme le produit vectoriel de cette force   par le vecteur   reliant son point d'application A au pivot P considéré :   C'est une notion primordiale en mécanique du solide.

Équation de plan dans l'espaceModifier

Article détaillé : Le plan dans l'espace euclidien.

Soient A, B et C, trois points non alignés de l'espace, grâce auxquels on peut former le plan (ABC).

M(x,y,z) appartient à (ABC) si et seulement si les coordonnées de M vérifient l'équation de (ABC).

L'équation cartésienne de (ABC) est de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b, c et d sont des réels et   est un vecteur normal à (ABC), c'est-à-dire que son produit scalaire avec le vecteur   ou avec   ou encore avec le vecteur   est nul, donc si   est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABC).

Les réels a, b et c sont donc les composantes respectives en x, y et z du vecteur  , produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), par exemple   et  .

Géométrie planeModifier

Soit ABCD un parallélogramme, c'est-à-dire qu'on a la relation  .

Comme indiqué plus haut dans la définition, l'aire de ce parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des deux vecteurs sur lesquels il s'appuie :  .

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Tous les espaces vectoriels euclidiens orientés de dimension 3 sont deux à deux isomorphes ; l'isomorphisme est une isométrie bien définie à composition près par une rotation.
  2. Il est en fait possible de définir une opération ayant des propriétés analogues dans des espaces de dimension 7 ; voir « Produit vectoriel en dimension 7 ».
  3. Un autre inconvénient est que le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, mais c'est aussi le cas des « produits » dans les algèbres non associatives.
  4. Voir section Définition #Comme produit de Lie.
  5. L'équivalence entre cette définition et la précédente est démontrée, par exemple, dans la leçon « Produit vectoriel » sur Wikiversité.
  6. Pour une démonstration, voir par exemple la leçon « Produit vectoriel » sur Wikiversité.

RéférencesModifier

  1. Crowe 1994.
  2. a et b Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, t. 2, Vuibert, 1979 (ISBN 0-7767-0164-9), p. 244.
  3. Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions], 1986, p. 107.
  4. Crowe 1994, p. 85.
  5. a et b Cajori 1993, p. 134 et 136.
  6. Cajori 1993, p. 138.
  7. La notation francophone usuelle du produit vectoriel en dimension 3 est  , mais il ne semble pas y avoir de mention du cas général dans la littérature
  8. (en) WS Massey, « Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces », The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 90, no 10,‎ , p. 697–701 (DOI 10.2307/2323537, lire en ligne)
  9. Massey (1993) et (en) Robert B Brown et Alfred Gray, Vector cross products, vol. 42, Birkhäuser Basel, (DOI 10.1007/BF02564418, lire en ligne), chap. Number 1/December, p. 222–236 demandent que l'application soit bilinéaire.
  10. La définition de l'angle dans un espace de dimension n est généralement donnée à l'aide du produit scalaire, comme valant  . Par conséquent, et en appliquant le théorème de Pythagore à la relation entre les normes,  , sin θ étant toujours positif dans cet intervalle. Voir (en) Francis Begnaud Hildebrand, Methods of applied mathematics, Courier Dover Publications, , Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd éd., poche (ISBN 978-0-486-67002-7, lire en ligne), p. 24
  11. a et b (en) Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors, Cambridge, UK, Cambridge University Press, , 2e éd., poche (ISBN 978-0-521-00551-7, LCCN 2001025396, lire en ligne), p. 96-97.
  12. (en) M. G. Kendall, A Course in the Geometry of N Dimensions, Courier Dover Publications, , poche (ISBN 978-0-486-43927-3, LCCN 2004047769, lire en ligne), p. 19
  13. Z.K. Silagadze, Multi-dimensional vector product, , « math.RA/0204357 », texte en accès libre, sur arXiv.

Ouvrages citésModifier

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions]

Lien externeModifier

www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf. "Produit vectoriel, pseudo-produit vectoriel, et endomorphismes antisymétriques". 9 pages.