Cube parfait

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En mathématiques, un cube parfait (un cube s'il n'y a pas ambiguïté) est le cube d'un entier naturel. Les dix-sept premiers cubes parfaits^[1] sont:

Puissance	0³	1³	2³	3³	4³	5³	6³	7³	8³	9³	10³	11³	12³	13³	14³	15³	16³
Résultat	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096

Nombre cubique

Un nombre cubique est un nombre figuré polyédrique (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un cube^[2]. Par exemple, 8 est un nombre cubique puisqu'il peut être représenté par un cube de 2 × 2 × 2 points. Les nombres cubiques sont donc exactement les cubes parfaits strictement positifs, le n-ième étant n³.

Obtention du nombre cubique d'ordre n

Article détaillé : Nombre polyédrique.

On obtient $C_{n}$ à partir de la relation : $C_{n}-C_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))$

où $S=8,A=12,F=6$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, $\{k,d\}=\{4,3\}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et $P_{k,n}$ le nombre k-gonal d'ordre ' $n$ ' ^[3].

On obtient donc $C_{n}-C_{n-1}=(8-1)+(12-3)(n-2)+(6-3)(n^{2}-4(n-1))=3n^{2}-3n+1=n^{3}-(n-1)^{3}$ .

D'où $C_{n}=n^{3}$ .

Propriétés

Le produit de deux nombres cubiques est un nombre cubique.

La somme des $n$ premiers nombres cubiques est le carré du $n$ -ième nombre triangulaire : $\sum _{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({n(n+1) \over 2}\right)^{2}.$ Il n'existe pas pour les nombres cubiques d'identité similaire à celle des triplets pythagoriciens pour les nombres carrés. En effet, une preuve élémentaire, amorcée par Euler, montre qu'il n'y a aucune solution non triviale à a³ + b³ = c³ avec a, b et c entiers (c'est un cas particulier du théorème de Fermat-Wiles).

Notes et références

↑ Pour les 10 000 premiers, voir le ce lien de la suite A000578 de l'OEIS.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Cubic Number », sur MathWorld.
↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 114

Articles connexes

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Pour les 10 000 premiers, voir le ce lien de la suite A000578 de l'OEIS.

[2] (en) Eric W. Weisstein, « Cubic Number », sur MathWorld.

[:1-3] (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 114

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