Nombre polygonal

nombre figuré

En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois.

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :

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Notations : P3,4 = T4 = 10.

Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :

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***

Notations : P4,3 = 32 = 9.

Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :

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Notations : P4,6 = 62 = 36 = T8 = P3,8.

Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomonsModifier

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier k ≥ 3, par convention, posons Pk,0 = 0 ; pour tout entier n ≥ 1, le nombre de points rouges du n-ième k-gone est :

 

C'est le gnomon associé à Pk,n–1, et faisant passer à Pk,n.
Pour tout entier k ≥ 3, (Pk,nPk,n–1)n≥1 est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal est donc la somme des n premiers termes de cette suite :

 

car la somme des entiers de 0 à m est m(m + 1)/2.

De plus : 0 + (k – 2)0×(0 – 1)/2 = 0 = Pk,0 ; donc l'expression Pk,n = n + (k – 2)n(n – 1)/2 est valable aussi pour n = 0.

Expression factorisée[1] : pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 0,

 

ExemplesModifier

Nombres triangulaires :
P3,1 = T1 = 1       P3,2 = T2 = 3         P3,3 = T3 = 6         P3,4 = T4 = 10
   
  
 
  
   
 
  
   
    
Nombres carrés :
P4,1 = 12 = 1       P4,2 = 22 = 4         P4,3 = 32 = 9         P4,4 = 42 = 16
    
  
   
   
   
    
    
    
    
Nombres hexagonaux :
P6,1 = 1       P6,2 = 6         P6,3 = 15         P6,4 = 28
    
   
  
   
    
     
    
   
    
     
      
       
      
     
    

Relations avec les nombres triangulairesModifier

Des conventions T0 = 0 et P3,0 = 0, et de l'expression Pk,n = n + (k–2)n(n–1)/2 (voir supra), on déduit que :

  • pour tout entier n ≥ 0,
 
Tn est le n-ième nombre triangulaire ;
  • pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1,
 

De la convention T0 = 0 et de l'expression Pk,n = n [(k – 2)n – (k – 4)]/2 (voir supra), on déduit que :

  • pour tous entiers k impair ≥ 5 et n ≥ 1,
 

[pertinence contestée]

Nombre à la fois k-gonal et k-gonal centréModifier

Pour tout entier k ≥ 3, le 1-ier et le (k + 1)-ième nombres k-gonaux sont aussi k-gonaux centrés :

 

Nombre polygonal premierModifier

Pour tout entier k ≥ 3, le 2-ième nombre k-gonal, Pk,2 = k, peut évidemment être premier.

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

Mais pour tout entier k ≥ 3, un nombre k-gonal de rang n ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un nombre k-gonal centré).

Idée générale de l'explication :

 

Listes de nombres polygonauxModifier

Nombres polygonaux (nombres polygonaux premiers : en gras)
k Nom, notation Pk,n Expression n Numéro de suite OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 nombre triangulaire, P3,n   1 3 6 10 15 21 28 36 45 55  A000217
4 nombre carré, P4,n   1 4 9 16 25 36 49 64 81 100  A000290
5 nombre pentagonal, P5,n   1 5 12 22 35 51 70 92 117 145  A000326
6 nombre hexagonal, P6,n   1 6 15 28 45 66 91 120 153 190  A000384
7 nombre heptagonal, P7,n   1 7 18 34 55 81 112 148 189 235  A000566
8 nombre octogonal, P8,n   1 8 21 40 65 96 133 176 225 280  A000567
9 nombre ennéagonal, P9,n   1 9 24 46 75 111 154 204 261 325  A001106
10 nombre décagonal, P10,n   1 10 27 52 85 126 175 232 297 370  A001107
11 nombre undécagonal, P11,n   1 11 30 58 95 141 196 260 333 415  A051682
12 nombre dodécagonal, P12,n   1 12 33 64 105 156 217 288 369 460  A051624
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10 000 nombre myriagonal, P10 000,n   1 10 000 29 997 59 992 99 985 149 976 209 965 279 952 359 937 449 920  A167149

L'encyclopédie électronique des suites entières (OEIS) évite les termes avec préfixes grecs (comme « octogonal ») et utilise de préférence des termes avec préfixes numériques (comme « 8-gonal »).

IntérêtModifier

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Théorème de Fermat-CauchyModifier

Théorème des nombres polygonaux de Fermat :
Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ainsi, tout entier positif est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires, 4 carrés, …, 10 nombres décagonaux, ou ….
Exemples : 17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires),
17 = 16 + 1 (nombres carrés),
17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[2], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés :
Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.
Exemple : 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.
Exemple : 7 = 6 + 1.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.
Exemple : 7 = 5 + 1 + 1 (nombres pentagonaux).

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polygonal number » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Eric W. Weisstein, « Polygonal Number », sur MathWorld (consulté le )
  2. Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, t. 3, 1896, p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier