Triplet pythagoricien

Animation démontrant le plus simple triplet pythgoricien : 32 + 42 = 52.

En arithmétique, un triplet pythagoricien est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.

HistoriqueModifier

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonte à la tablette Plimpton 322, un document écrit vers dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens[1].

Cas généralModifier

Il existe une méthode pour générer l'ensemble des triplets pythagoriciens. Le triplet (x, y, z) est pythagoricien si et seulement il existe deux entiers 0 < p < q tels que

  et  

Une démonstration algébrique grâce à une paramétrisation du cercle unité est souvent présentée[2].

Cas des triplets primitifsModifier

Un triplet pythagoricien (x, y, z) est dit primitif si les trois entiers x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Tout triplet pythagoricien (x, y, z) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (x, y, z).

Si l'on divise par z2, on obtient :

 

c'est-à-dire que les triplets pythagoriciens primitifs permettent de trouver les points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par  .

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Théorème fondamentalModifier

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif alors (y, x, z) aussi, et x ou y est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence[3],[4],[5] entre

  • (i)   est un triplet pythagoricien primitif avec   impair.
  • (ii) Il existe   avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que
     

Une reformulation de ce théorème est :   est un triplet pythagoricien primitif avec   impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux   tels que

 

Le cas   implique que tout nombre impair > 1 fait partie d'au moins un triplet primitif.

Génération algébrique et géométriqueModifier

Berggren[7] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3,4,5) par application répétée de  ,   et  , avec :

 

De plus cette décomposition est unique[8].

Géométriquement, le produit de   par un triplet (x, y, z) correspond à la construction Φ     effectuée pour le point  , où :

  •   est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
  •   est la symétrie de centre O ;
  •   la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
  • et Φ l'application du cercle unité   dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de   avec la droite passant par M et P(1,1).

ExemplesModifier

  •  
  •  

Une visualisation des triplets pythagoriciensModifier

 
Visualisation des triplets associée à la fonction carré.
 
Nuage de points de tous les couples d'entiers   tels que   soit pythagoricien avec   et   inférieurs à 4 500.

La fonction complexe   laisse stable l'anneau Z[i] des entiers de Gauss. À chaque point de l'image de Z[i] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet,  , et  ). Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens[9] et une explication de la présence des paraboles dans le nuage de points ci-contre.

Notes et référencesModifier

  1. Goichot, « Tablette Plimpton 322 », sur Le Portail des IREM, , revu par Christine Proust, 02/2017.
  2. Voir par exemple, Pierre Guillot, Cours de mathématiques L1, TheBookEdition, p. 229
  3. Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, (ISBN 978-2-01011950-7, OCLC 20000703), p. 94.
  4. (en) Wacław Sierpiński, Pythagorean triangles, Dover, (lire en ligne), p. 4-7.
  5. (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », (lire en ligne), p. 112.
  6. Pour une démonstration, voir par exemple Sierpiński 2003, p. 4 ou cet exercice corrigé de la leçon d'arithmétique sur Wikiversité.
  7. « Pytagoreiska trianglar », Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, p. 129-139.
  8. André Stoll, « Générations géométrique et algébrique des triplets pythagoriciens », L’Ouvert, nos 100-101,‎ , p. 1 (lire en ligne [PDF]).
  9. (en) « All possible pythagorean triples visualized », sur YouTube.

Voir aussiModifier

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