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Un triplet pythagoricien vérifie la relation de Pythagore : a2 + b2 = c2.

En arithmétique, un triplet pythagoricien est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.

Sommaire

HistoriqueModifier

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de triplets pythagoriciens remonte à la tablette Plimpton 322[1], un document écrit vers 1800 av. J.-C. dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former des triplets pythagoriciens.

Triplets primitifsModifier

Un triplet pythagoricien (x, y, z) est dit primitif si les trois entiers x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Tout triplet pythagoricien (x, y, z) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (x, y, z).

Si l'on divise par z2, on obtient :

 

c'est-à-dire que les triplets pythagoriciens primitifs permettent de trouver les points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par  .

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Théorème fondamentalModifier

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif alors (y, x, z) aussi, et x ou y est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence[2],[3],[4] entre

  • (i)   est un triplet pythagoricien primitif avec   impair.
  • (ii) Il existe   avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que
     

Une reformulation de ce théorème est :   est un triplet pythagoricien primitif avec   impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux   tels que

 

Le cas   implique que tout nombre impair > 1 fait partie d'au moins un triplet primitif.

Génération algébrique et géométriqueModifier

Berggren[6] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3,4,5) par application répétée de  ,   et  , avec :

 

De plus cette décomposition est unique[7].

Géométriquement, le produit de   par un triplet (x, y, z) correspond à la construction Φ     effectuée pour le point  , où :

  •   est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
  •   est la symétrie de centre O ;
  •   la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
  • et Φ l'application du cercle unité   dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de   avec la droite passant par M et P(1,1).

ExemplesModifier

  •  
  •  

Une visualisation des triplets pythagoriciensModifier

 
Visualisation des triplets associée à la fonction carré.
 
Nuage de points de tous les couples d'entiers   tels que   soit pythagoricien avec   et   inférieurs à 4 500.

La fonction complexe   laisse stable l'anneau Z[i] des entiers de Gauss. À chaque point de l'image de Z[i] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet,  , et  ). Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens[8] et une explication de la présence des paraboles dans le nuage de points ci-contre.

Notes et référencesModifier

  1. « Tablette Plimpton 322 », sur Le Portail des IREM
  2. Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Hachette, (ISBN 978-2-01011950-7, OCLC 20000703), p. 94.
  3. (en) Wacław Sierpiński, Pythagorean triangles, Dover, (lire en ligne), p. 4-7.
  4. (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », (lire en ligne), p. 112.
  5. Pour une démonstration, voir par exemple Sierpiński 2003, p. 4 ou cet exercice corrigé de la leçon d'arithmétique sur la Wikiversité.
  6. « Pytagoreiska trianglar », Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, p. 129-139.
  7. André Stoll, « Générations géométrique et algébrique des triplets pythagoriciens », L’Ouvert, nos 100-101,‎ , p. 1 (lire en ligne [PDF]).
  8. (en) « All possible pythagorean triples visualized », sur YouTube.

Voir aussiModifier

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