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Convergence normale

Mode de convergence d'une série de fonctions

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général converge normalement sur X s'il existe une suite de réels un tels que :

  1. pour tout n, est majorée par un sur X ;
  2. la série de terme général un converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme[1]. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

HistoireModifier

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire[2].

Espaces vectoriels normésModifier

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général   converge normalement sur X si

 .

ExemplesModifier

  • La série de terme général   converge normalement sur tout compact de R\Z.
 [3].
  • Soit   le produit de   par la fonction indicatrice de l'intervalle  . La série   n'est pas normalement convergente ( ) mais elle est uniformément convergente ( ).
  • Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

Notes et référencesModifier

  1. Jacques Dixmier, Topologie générale, PUF, (ISBN 2130366473, OCLC 417477300), p. 81, théorème 6.1.10.
  2. René Baire, Leçons sur les théories générales de l'analyse, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, (lire en ligne), p. vii.
  3. (en) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer, (ISBN 978-0-387-97195-7, lire en ligne), p. 327.