En analyse convexe, le cône tangent au sens de Bouligand, ou cône contingent[1], est une certaine approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie.

Notations

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Dans tout cet article,   désigne un espace vectoriel réeltopologique si nécessaire (si   est de dimension finie, on le suppose muni de sa topologie usuelle) —   une partie non vide de   et   un point de  . On note :

  •  , pour tout   (lorsque  , on utilise la notation simplifiée  ).   est donc un cône si  .
  •   l'adhérence de   ;
  •   son enveloppe affine,   son intérieur relatif et   sa frontière relative ;
  • si   est un sous-espace affine :   sa direction.

On note en outre :

Cône des directions admissibles

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Le cône des directions admissibles, ou cône radial[2] de   en  , noté  , est défini par

  pour tout réel   petit 

Ce cône est donc vide si  , et égal à   tout entier dès que   est une partie absorbante de ce sous-espace.

Cône tangent

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Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône des directions admissibles comme cône tangent à   en  . Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de   est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes connue, aussi il en faut une nouvelle :

Direction tangente et cône tangent, au sens de Bouligand[3] — Le cône tangent, ou ensemble des directions tangentes (au sens de Bouligand) à   en  , noté   (ou parfois  )[4], est défini par :

 .

Il résulte de cette définition que   :

  • est un cône fermé inclus dans l'adhérence de   ;
  • est égal à cette adhérence dès que   (puisque  ) ;
  • est vide si   (donc n'a d'intérêt que si  ) ;
  • est inchangé lorsqu'on remplace   par   ;
  • commute aux réunions finies, c'est-à-dire :   (pour toute partie   de  ) ;
  • est donc une fonction croissante de  , c'est-à-dire :  ,ce qui s'écrit aussi, par exemple :   (pour toute famille non vide[5]   de parties de  ).

Lorsque   est à bases dénombrables de voisinages, par exemple lorsque c'est un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une partie de   se réduit à sa fermeture séquentielle, et la définition du cône tangent se traduit alors par :

  s'il existe des suites   et   telles que

 

ou encore, s'il existe des suites   et   telles que

 

Autrement dit,   s'il existe une suite de vecteurs   convergeant vers  , telle que   rencontre   en des points de plus en plus proches de   lorsque  .

Cône normal

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Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur  . On suppose donc que   est un espace préhilbertien et l'on note   son produit scalaire.

Vecteur normal, cône normal — Le cône normal, ou ensemble des vecteurs normaux à   en  , noté  , est le cône dual négatif du cône tangent :   :

 

Par conséquent,   est un cône convexe fermé.

Exemple
Soit   le cône (non convexe)  . Alors,   donc  .

Cas d'un convexe

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Dans le cas où l'ensemble est convexe, le calcul du cône tangent et du cône normal se simplifient.

Cônes tangent et normal à un convexe — Dans un espace vectoriel topologique  , soit   un point de l'adhérence d'un convexe  . Alors :

  •   ;
  •   et  , en supposant que   est préhilbertien.

Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image directe — Soient   et   deux espaces vectoriels topologiques,   une application affine continue (  est linéaire continue et  ), et   un point de l'adhérence d'un convexe  .

  1.   ;
  2.  , en supposant que   est hilbertien et   préhilbertien, et en notant   l'adjoint de  .

Cas d'un convexe en dimension finie

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En dimension finie, grâce à l'existence d'hyperplans d'appui, on déduit de l'expression ci-dessus de   :

Vecteur non nul normal à un convexe — Dans un espace euclidien, soit   un point de la frontière relative d'un convexe  . Alors,   contient un vecteur non nul.

Le transport affine par image réciproque est moins classique que celui (ci-dessus) par image directe, et nécessite plus de précautions :

Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image réciproque[réf. nécessaire] — Soient   et   deux espaces euclidiens[6],   une application affine,   l'adjoint de  ,   un convexe, et  .

  1.  . En particulier, l'ensemble   est fermé ;
  2.  .

Exemples

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Polyèdre convexe

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Soit   un polyèdre convexe de  , que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :

 ,

  est une matrice de type  ,   et l'inégalité est entendue composante par composante :   pour tout  . On note pour un point   :

 .

Alors les cônes tangent et normal en   s'écrivent

 ,

  est le vecteur formé par la ligne   de   et «   » désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique d'un ensemble (le plus petit cône convexe pointé contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que   était muni du produit scalaire euclidien.

Cône convexe fermé

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Soient   un cône convexe fermé d'un espace euclidien[7] et  . Alors,

 ,

en particulier,   et  .

Remarquons que   n'est pas toujours fermé (donc l'image d'un cône convexe fermé   par l'application linéaire   n'est pas toujours fermée). Par exemple, dans l'espace   des matrices symétriques réelles d'ordre  , muni du produit scalaire usuel (   désigne la trace), soit   le cône (autodual) de celles qui sont positives. Les cônes normal et tangent à   en   s'écrivent

 

Ainsi pour  ,   et  .

Qualification de contraintes

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Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous

 

où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction   et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction  . L'inégalité vectorielle   doit ici être entendue composante par composante. On note   l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi   pour tout indice  . De même pour l'ensemble   des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point   à partir des dérivées premières des fonctions   et   en  .

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions   et   en   :

 

où l'on a noté

 

On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours

 

On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes)   et   sont qualifiées en   si   Comme   ne dépend que de l'ensemble  , pas des fonctions   et  , il s'agit d'une notion assurant que la représentation de   par   et   convient.

Annexes

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Notes et références

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  1. G. Bouligand, Introduction à la géométrie infinitésimale directe, Paris, Gauthier-Villars, 1932.
  2. Bonnans et Shapiro 2000, p. 44. Pour de nombreuses autres dénominations, voir Khan, Tammer et Zălinescu 2015, p. 111.
  3. Bonnans et Shapiro 2000, p. 40 et 44.
  4. En géométrie différentielle, l'espace tangent est noté  .
  5. En dimension finie, pour avoir l'égalité, on se sert de conditions de qualification des  , un enjeu important dans l'écriture des conditions d'optimalité en optimisation.
  6. Dans l'expression du cône tangent (point 2), les produits scalaires (sur E et F de dimensions finies) sont un outil de calcul mais n'interviennent pas dans le résultat.
  7. Hiriart-Urruty et Lemaréchal 1993, p. 137, Examples 5.2.6 (a).

Bibliographie

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  • (en) J. F. Bonnans et A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, New York, Springer, (lire en ligne)
  • J.-B. Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, EDP Sciences, (1re éd. 1998, PUF) (lire en ligne)
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, vol. 1, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 305), (lire en ligne), p. 133-142
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, (1re éd. 2001) (lire en ligne)
  • (en) Johannes Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1994), chap. 4 (« Tangent Cones »), p. 79-104
  • (en) Akhtar A. Khan, Christiane Tammer et Constantin Zălinescu, Set-valued Optimization: An Introduction with Applications, Springer, (lire en ligne)
  • (en) R. T. Rockafellar, « Lagrange Multipliers and Optimality », SIAM Review, vol. 35,‎ , p. 183-238 (lire en ligne)

Lien externe

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J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris