Cône dual

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le cône dual d'une partie d'un espace euclidien est l'ensemble des vecteurs de qui font un angle plus petit que avec les vecteurs de . C'est un cône convexe fermé non vide.

Un ensemble du plan euclidien et son cône dual .

On définit plus généralement, pour une partie d'un espace vectoriel réel , le cône dual (algébrique) de , qui est un cône de l'espace dual et, si est un espace vectoriel topologique, le cône dual topologique de , qui est un cône du dual topologique .

DéfinitionsModifier

Soit   une partie non vide d'un espace vectoriel réel  . Le cône dual de   est l'ensemble   défini par

 

c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires sur   qui sont positives sur  .

Ce cône porte aussi parfois le nom de cône dual positif, tandis que son opposé   porte le nom de cône dual négatif (ou parfois cône polaire[1], bien que ce dernier renvoie aussi à un autre concept).

Le cône bidual de   est  .

Lorsque   est un espace vectoriel topologique réel , on définit de façon analogue le cône dual topologique :   est le cône des formes linéaires continues sur   qui sont positives sur  .

Si   est de dimension finie,   et  .

Si   est un espace de Hilbert réel, le théorème de représentation de Riesz permet d'identifier   à   et donc   à un cône de  . Un cône est alors dit autodual s'il est égal à son dual.

L'intersection de ces deux cas particuliers est celui où   est un espace euclidien. Seul ce cas sera considéré dans la suite de cet article.

NotationsModifier

  et   désigneront des espaces euclidiens (produit scalaire et norme associés notés   et   respectivement).

Soit   une partie de  . On note

  •   l'adhérence de  .
  •   l'enveloppe convexe de   et   son enveloppe convexe fermée.

On note   l'enveloppe affine d'un convexe non vide   de   et   son intérieur relatif.

Pour toute application linéaire  , l'application   est l'adjointe de  .

Pour toute matrice  , la matrice   est la transposée de  .

Premières propriétésModifier

  est clairement un cône convexe fermé non vide de  , comme intersection de la famille non vide des demi-espaces fermés  , indexée par  .

On a aussi les propriétés suivantes.

Soient   et   des parties non vides de   et   une famille non vide de parties non vides de  . Alors :

  1.  [2] ;
  2.   ;
  3. le bidual de   est le plus petit cône convexe fermé contenant   :   ;
  4.  , avec égalité si   ;
  5. si   et   sont des cônes convexes fermés alors  .
Remarques
  • Dans l'égalité du point 3, l'inclusion immédiate   traduit le fait que   est un cône convexe fermé contenant  . L'inclusion réciproque,  , peut s'interpréter géométriquement comme suit. Elle signifie que si un vecteur   n'appartient pas à  , alors  , ce qui revient à dire qu'il existe un vecteur   tel que  , ou encore, tel qu'un certain hyperplan orthogonal à   sépare strictement   de  . La démonstration du point 3 peut d'ailleurs se faire par séparation stricte de ces deux convexes (théorème de Hahn-Banach).
  • Dans le point 5 (qui se déduit du 4 par dualité), on peut enlever l'adhérence si   et   sont polyédriques (comme l'orthant positif d'un certain  ) — car   est alors polyédrique donc fermé — ou si  , mais il ne suffit pas que  . Par exemple, dans  , si   est le cornet   et si  , alors   (autodualité du cornet),  ,  , alors que   n'est pas fermé.

Lemme de Farkas et conséquencesModifier

Le lemme de Farkas a diverses interprétations. Nous le voyons ici comme un moyen de calculer le cône dual d'un ensemble défini au moyen d'une application linéaire.

Un lemme de Farkas généraliséModifier

La notion de cône dual généralise celle de sous-espace vectoriel orthogonal, puisque si   est un sous-espace vectoriel,  . On connaît bien, pour une matrice  , la relation

 ,

qui nous apprend ce qu'est le cône dual d'un ensemble défini par un système d'équations linéaires homogènes. Une question naturelle est alors de se demander ce qu'est le cône dual d'un ensemble donné par des inégalités linéaires homogènes. La réponse à cette question est donnée par le lemme de Farkas (voir infra), que l'on peut généraliser comme suit.

Lemme de Farkas généralisé — Soient   une application linéaire et   un cône convexe non vide de  . Alors,

 
 
Lemme de Farkas généralisé.

Un calcul immédiat montre que pour toute partie non vide   de  ,  . Par conséquent, le « lemme de Farkas généralisé » est un simple avatar de la propriété 3 ci-dessus (pour tout cône convexe  ,  ) et s'interprète donc géométriquement de la même manière.

Remarquons que l'identité du « lemme de Farkas généralisé » s'écrit aussi   car — contrairement à   — le cône convexe   est nécessairement fermé, donc égal à son bidual.

L'identité du « lemme de Farkas généralisé » permet de donner une condition nécessaire pour que le système linéaire   ait une solution   dans  . Il faut en effet que   et donc que

 

Si   est fermé (par exemple si   — donc aussi   — est polyédrique, ou si   est fermé et  ), cette condition sur   et   est aussi suffisante. Si   n'est pas fermé, on peut trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que  , qui renforcent l'expression ci-dessus[3]. Lorsque   est l'orthant positif de  ,   est fermé et le résultat, exprimé sous une forme différente, est alors connu sous le nom de théorème de l'alternative (diverses variantes sont considérées dans l'article Théorèmes de l'alternative).

CorollairesModifier

Corollaire 1 (Farkas) — Pour toute matrice  ,

 

  désigne le cône dual pour le produit scalaire euclidien.

On retrouve l'identité   lorsque   (par blocs).

Corollaire 2 (dual d'un polyèdre convexe) — Le cône dual d'un polyèdre convexe de   est un polyèdre convexe.

Aspects topologiquesModifier

Intérieur et intérieur relatif du cône dual — Soient   et   le projecteur orthogonal sur le sous-espace vectoriel  . Alors

 

Décomposition de MoreauModifier

Clairement, tout   est la somme de ses parties positive et négative   et   (composante par composante), c'est-à-dire de ses projetés orthogonaux (pour le produit scalaire euclidien) sur   et  . La décomposition de Moreau[1] généralise l'identité pour des cônes différents de l'orthant positif  .

Décomposition de Moreau — Soient   un cône convexe fermé de   et   son cône dual négatif. On note   et   les projecteurs orthogonaux sur   et   respectivement. Alors, pour  ,   et   donnés dans  , les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1.  ,  ,   et  ,
  2.   et  .

La décomposition de   en   comme au point 1 ci-dessus est appelée la décomposition de Moreau de  , correspondant au cône  .

Notes et référencesModifier

  1. a et b J.-J. Moreau, « Proximité et dualité dans un espace hilbertien », Bull. Soc. Math. Fr., no 93, 1965, p. 273-299.
  2. En particulier,  .
  3. Voir (en) J. B. Lasserre, « A Farkas lemma without a standard closure condition », SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 35,‎ , p. 265-272.

Articles connexesModifier