Rigidité (mathématiques)

Une collection d'objets mathématiques est dite rigide si chacun de ses éléments est déterminé de façon unique par moins d'informations que ce qui semblerait a priori nécessaire. Cette définition informelle est à préciser selon le contexte. Par exemple :

• Les fonctions harmoniques sur le disque unité sont rigides au sens où elles sont déterminées de façon unique par leurs valeurs au bord.
• Les fonctions holomorphes (définies sur un ouvert connexe du plan) sont déterminées par leurs dérivées à tout ordre en un seul point. Le lemme de Schwarz est aussi un exemple de leur rigidité.
• Les polynômes à coefficients dans un corps (par exemple les polynômes à coefficients réels ou complexes) ont également une structure rigide : ils sont déterminés par leurs valeurs sur n'importe quel ensemble infini. Dans le cas du corps des nombres complexes, le théorème fondamental de l'algèbre témoigne de la rigidité des polynômes : ceux-ci sont déterminés, de manière biunivoque, par leurs zéros avec multiplicités (en nombre fini) et leur coefficient dominant.
• Les applications linéaires d'un espace vectoriel X dans un espace vectoriel Y sont rigides au sens où chacune est entièrement déterminée par ses valeurs sur n'importe quelle base de X.
• Le théorème de rigidité de Mostow (en) fournit des conditions suffisantes relativement faibles pour que deux variétés à courbure négative soient isomorphes.
• Les bons ordres sont rigides au sens où il existe au plus un monomorphisme (i. e. une injection croissante) de l'un dans l'autre (et a fortiori au plus un isomorphisme ; en particulier le seul automorphisme d'un bon ordre est l'identité).
• Un théorème de Cauchy établit qu'un polytope convexe est déterminé de façon unique par la géométrie de ses faces et la donnée combinatoire de son graphe d'adjacence.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rigidity (mathematics) » (voir la liste des auteurs).
• (en) « Rigid », sur PlanetMath

Article connexe

Rigidité structurelle, une théorie mathématique qui décrit les degrés de liberté d'un ensemble d'objets physiques reliés par des connexions flexibles