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Révision de l'article «Liste des gammes et modes»

Cette page présente une liste des gammes ou des échelles en usage dans la musique. Souvent, aucune distinction claire n'est faite non seulement entre «gamme» et «échelle», mais pas non plus entre ces deux termes et un troisième, «mode». Toutes ces notions reposent souvent, mais pas toujours, sur l'idée que des notes à l'octave l'une de l'autre sont en quelques sortes les mêmes, ou qu'elles portent en tout cas le même nom (do, par exemple).

Le mot «échelle» est le plus général, désignant une succession de hauteurs, de degrés ou de notes, dans l'ordre ascendant ou descendant. Les échelles se définissent souvent par le nombre des notes qu'elles comprennent par octave.
Le mot «gamme» en est pratiquement synonyme, mais souvent limité à l'ambitus d'une octave. Une gamme se caractérise donc souvent aussi par le nom de sa note de départ et d'arrivée: on parle de «gamme de do», «de ré», etc.
Le mot «mode» associe à la gamme (dont il est largement synonyme) une idée de comportements mélodiques caractéristiques en association avec une «note de référence» qui est souvent la première note de la gamme, mais qui peut en être aussi en quelque sorte la tonique.
Enfin, à ces trois termes, il faut en ajouter un quatrième, celui d'«accordage» ou de «tempérament», qui décrit la façon dont l'échelle ou la gamme est accordée. Les tempéraments n'existent que dans la musique occidentale.

Ces différentes définitions définiront la structure de l'article ci-dessous:
• Il y sera question d'abord des différents types d'échelles, qui se caractérisent en particulier par le nombre de notes qu'elles comportent à l'octave, indépendamment du point d'origine ou d'aboutissement de cette octave. Les échelles les plus courantes sont à 24 degrés (échelle à quarts de tons), 12 degrés (échelle chromatique), 7 degrés (échelle heptatonique ou diatonique), 5 degrés (échelle pentatonique); mais il y en a d'autres.
• Les gammes seront discutées ensuite. Il s'agit d'échelles limitées à une octave et dont l'organisation interne dépend de quelle note de l'échelle est prise comme première note de la gamme.
• Les modes seront envisagés ici principalement en ce qu'ils donnent des noms aux gammes auxquelles ils correspondent. Les autres aspects caractéristiques des modes (leurs comportements mélodiques) ne seront pas abordés ici: on trouvera plus de détails à ce sujet dans l'article «Mode».
• Enfin, les accordages et les tempéraments ne seront pas abordés ici pour eux-mêmes (on consultera à ce propos l'article Gammes et tempéraments dans la musique occidentale), mais seront signalés à plusieurs reprises à propos d'échelles ou de gammes particulières.

L'article qui suit est dans une large mesure un article de désambiguïsation: la plupart des notions évoquées ici sont traitées plus longuement dans des articles spécifiques, auxquels celui-ci se contente de renvoyer.

Échelles

Les échelles musicales représentent un « réservoir de notes » disponibles pour faire de la musique. Le Dictionnaire Bordas définit l'échelle comme suit :

Terme désignant l'ordre successif des sons dans un système mélodique donné, sans idée de tonique, d'organisation hiérarchique ou de délimitation de tessiture. L'échelle ne doit pas être confondue avec le mode.^[1]

Discutant de la distinction entre échelle et gamme, le Dictionnaire ajoute :

La terminologie reste ici imprécise et fluctuante. Tout au plus peut-on avancer que l'échelle est illimitée dans sa tessiture – n'ayant ni commencement ni fin – alors que la gamme est en général considérée dans un ambitus d'octave.^[2]

Enfin, à l'article « Système », il dit encore :

Il faut remarquer que le terme allemand Tonsystem désigne en général ce qui en français est exprimé par « échelle » [...]. De fait, la distinction entre échelle, système et structure mélodique reste assez arbitraire et ces trois termes sont en partie interchangeables.^[3]

Les Grecs anciens ont appelé Systema teleion (« Système complet » ou « Système parfait ») la description qu'ils faisaient de l'échelle générale des sons de leur musique^[4]. C'est dans ce sens que le terme « système » est utilisé souvent aujourd'hui comme synonyme d'« échelle ».

Le grand ethnomusicologue Curt Sachs considère que les systèmes musicaux s'organisent toujours sur une ou plusieurs consonances, quarte, quinte et/ou octave.

Lorsque la quarte agit comme force structurelle, la mélodie se stabilise en un tétracorde (du grec tetra, quatre), c'est-à-dire un organisme mélodique couvrant une quarte, d'habitude avec une ou deux notes de remplissage de moindre importance. Les mélodies plus larges dont la quarte est la force régulatrice se cristallisent en deux tétracordes liés l'un à l'autre, « conjoints », de telle sorte que la note de contact appartient aux deux tétracordes et joue le rôle de centre et de note principale de l'heptade (série de sept notes).

Par ailleurs, lorsque la quinte agit comme force structurelle, la mélodie se stabilise en un pentacorde (de pente, cinq), un organisme mélodique couvrant une quinte, avec généralement une, deux ou trois notes de remplissage de moindre importance et l'accent principal mis sur la note la plus grave.

Une mélodie pentacordale d'ambitus étendu ne se stabilise pour ainsi dire jamais en deux pentacordes mais bien, sous l'emprise impérieuse de l'octave, en la conjonction d'un pentacorde et d'un tétracorde. Cette forme la plus parfaite d'échelle organisée unit les trois intervalles, l'octave, la quinte et la quarte.^[5]

Bien que Curt Sachs discute de mélodies fondées sur deux, trois ou quatre notes, on considère généralement que les échelles proprement dites sont à cinq notes (échelle ou système pentatonique), à sept notes (heptatonique), à douze notes (dodécatonique ou dodécaphonique) ou plus.

Échelles (systèmes) pentatoniques

Article détaillé : Système pentatonique.

Les deux types principaux d'échelles à cinq sons sont l'échelle équipentatonique, qui divise l'octave en cinq intervalles approximativement égaux, et les échelles anhémitoniques, qui sont des sous-ensembles de l'échelle diatonique. Il existe d'autres cas d'échelles à cinq intervalles inégaux, mais il est difficile d'en faire une description systématique.

Échelle équipentatonique

L'échelle équipentatonique se rencontre en particulier dans le gamelan slendro. L'octave est divisée en cinq intervalles d'approximativement 240 cents, soit 2,4 demi-tons chacun. Dans la mesure où les instruments sont à percussion, les intonations demeurent relativement imprécises^[6].

Échelle pentatonique anhémitonique

Échelle pentatonique « sans demi-tons ». Elle est généralement décrite comme résultant d'un cycle de quatre quintes, par exemple fa–do–sol–ré–la^[7], dont les cinq notes peuvent s'organiser en différents types de gammes. Cette échelle est parfois décrite comme une échelle diatonique « défective », c'est-à-dire à laquelle manqueraient certaines notes, celles précisément qui formeraient des demi-tons^[8]. Par exemple, l'échelle do–ré–fa–sol–la pourrait être considérée comme une échelle do–ré–mi–fa–sol–la–si, à laquelle manqueraient mi et si.

Échelles (systèmes) heptatoniques

Genres grecs antiques

Les Grecs anciens ont décrit trois «genres» de systèmes musicaux, les genres, diatonique, chromatique et enharmonique. Ces genres concernent plus précisément la formation de tétracordes, le système complet était formé de plusieurs tétracordes conjoints et disjoints^[9].

Le tétracorde diatonique est formé de deux tons et d'un demi-ton, comme la sol fa mi. Le tétracorde enharmonique abaisse le deuxième degré de ce tétracorde, qui est formé donc d'un intervalle de trois demi-tons (trihémiton) suivi de deux demi-tons, comme la sol fa mi. Le tétracorde enharmonique resserrait encore les petits intervalles du tétracorde chromatique et se compose donc d'un intervalle de deux tons (diton) suivi de deux diesis (quarts de ton), comme la sol𝄫 fa𝄳 mi.

Le « Système parfait » (systema teleion) des Grecs couvrait quatre tétracodes, alternativement conjoints et disjoints, et une note, soit deux octaves au total. Il est d'usage de le décrire comme s'étendant de la à la, comme ceci sous sa forme diatonique:

			mi	ré	do	si				mi	ré	do	si
la	sol	fa	mi				la	sol	fa	mi				la

Les mi sont à la fois la dernière note d'un tétracorde et la première du suivant (conjonction), alors que la disjonction se fait entre si et la.

Pour le genre chromatique, il suffit de baisser les sol et les ré d'un demi-ton:

			mi	ré	do	si				mi	ré	do	si
la	sol	fa	mi				la	sol	fa	mi				la

Pour le genre enharmonique, baisser ces mêmes notes d'encore un demi-ton et les fa et les do d'un quart de ton:

			mi	ré	dod	si				mi	ré	dod	si
la	sol	fad	mi				la	sol	fad	mi				la

Conformément aux conventions grecques ancienne, cette échelle est décrite ici dans l'ordre descendant, mais on peut évidemment la lire aussi dans l'autre sens.

Échelle diatonique

Article détaillé : Échelle diatonique.

L'échelle diatonique est une échelle à sept degrés composée de cinq tons et deux demi-tons, les deux demi-tons étant séparés par deux ou trois tons. Si les tons sont représentés par la lettre T est les demi-tons par la lettre S (pour semitonium), l'ordre est donc par exemple ...T T S T T T S... L'échelle diatonique est souvent décrite comme engendrée par des quintes successives jusqu'à produire sept degrés, par exemple fa do sol ré la mi si.

Le système de notation occidental est fondé sur l'échelle diatonique. Les sept notes qu'il est possible d'inscrire dans les portées sans signes d'altération forment les degrés d'une échelle diatonique, parfois appelée « naturelle » parce qu'elle ne comporte que des degrés « naturels » (ni diésés, ni bémolisés). Les altérations s'ajoutent en suivant le cycle des quintes.

Le clavier musical moderne est né au Moyen Âge comme un clavier diatonique, ne comprenant que les touches blanches^[10].

Échelle zalzalienne

L'échelle zalzalienne, qui doit son nom à Zalzal Mansour, est une échelle formée d'intervalles de secondes majeures et de secondes neutres (trois quarts de ton), par exemple ré mi^dbfa sol la si^dbdo. Elle est considérée caractéristique des systèmes musicaux médiévaux hébraïque et islamique du Proche Orient et du Maghreb^[11].

Échelle dodécaphonique (ou dodécatonique)

Échelles « multiples » (à plus de douze sons)

Échelles non octaviantes

Gammes

Modes

Anciennes notes sur les tempéraments

En musique, un tempérament est un système d'accord des degrés et des intervalles d'une gamme musicale. Par extension on utilise le mot « gamme » pour désigner un tempérament (par exemple, la gamme tempérée pour le tempérament égal). Les tempéraments servent à l'accordage des instruments à sons fixes, c'est-à-dire les instruments possédant un dispositif vibrant séparé pour chaque note (instruments à clavier, harpes, tympanons, etc.) et ceux à frettes. Le tempérament est rendu nécessaire parce que chacune des notes de la gamme doit pouvoir servir dans des circonstances diverses qui requièrent des intonations légèrement différentes. Alors que ces petites différences peuvent être réalisées sur des instruments à degrés mobiles (comme le violon, où un petit déplacement d'un doigt de la main gauche, ou les instruments à vent, où une légère modification de l'intensité du souffle suffisent à modifier l'intonation), les instruments à sons fixes requièrent des compromis.

Le mot «temperament», du latin temperare, «organiser», «modérer», se réfère plus précisément à la modification d'un intervalle, généralement la diminution de la quinte, au profit d'autres intervalles. On distingue deux catégories générales de tempéraments:

• Les tempéraments «réguliers», où toutes les quintes sont diminuées d'une même quantité proportionnelle.

• Les tempéraments «irréguliers», où les quintes sont tempérées de diverses manières.

Les intervalles tempérés ne peuvent pas être exprimés sous forme de rapports de nombres entiers représentant les fréquences, aussi complexes soient-ils: ce sont des nombres irrationnels. Les autres accordages, dont les intervalles peuvent s'exprimer sous forme de rapports de nombres entiers, ne sont pas des tempéraments: on les appelle plutôt des systèmes ou des accords (Accord pythagoricien, par exemple).

Histoire

Les systèmes d'accord et les tempéraments utilisés en Occident sont, dans l'ordre chronologique :

l'accord pythagoricien, depuis l'Antiquité jusqu'à la fin du Moyen Âge et au-delà ;
les tempéraments mésotoniques, en particulier celui à tierces pures, du XVI^e siècle probablement jusqu'au XIX^e ;
les tempéraments irréguliers, du XVII^e siècle au XIX^e ;
le tempérament égal, à partir du XIX^e siècle.

Il faut signaler en outre les tempéraments par division multiple, extensions des précédents à plus de douze degrés dans l'octave, parfois pour tenter d'améliorer la pureté de certains intervalles, ou encore pour produire des « micro-intervalles ». Ils sont documentés depuis le XVI^e siècle.

Alors qu'au début du Moyen Âge, la théorie musicale ne reconnaissait comme consonants que les intervalles d’unisson, d’octave, de quinte et de quarte, la tierce majeure n'a que progressivement été admise comme consonance imparfaite^[12]. La tierce pythagoricienne est en effet relativement fausse, plus grande que la tierce pure d’un comma syntonique, soit 22% d'un demi-ton. Jusqu'au XV^e siècle, les traités théoriques ne mentionnent aucun autre accord que le système pythagoricien, mais il est difficile de savoir dans quelle mesure il a été utilisé en pratique par les chantres, en particulier pour les tierces qui sont de plus en plus nombreuses dans le répertoire.

Le système pythagoricien a fait l'objet au Moyen Âge d'une sorte de culte quasi mystique, lié aussi à l'idée platonicienne que les nombres régissent le monde: le système pythagoricien repose en effet sur les rapports numériques (et les rapports de longueurs de cordes) les plus simples, 1/1 pour l'unisson, 1/2 pour l'octave, 2/3 pour la quinte, 3/4 pour la quarte. Dès le XV^e siècle néanmoins, on s'est efforcé de produire des tierces plus justes en faisant usage d'une propriété du système lui-même, dans lequel une note bémolisée (par exemple sol ) est un comma pythagoricien (24% d'un demi-ton) plus bas que son enharmonie diésée (par exemple fa ). En accordant par exemple ré-sol , utilisé en réalité comme la tierce majeure ré-fa , on obtenait une tierce majeure presque pure sans déroger au culte de Pythagore^[13].

Dès la fin du XV^e siècle, Bartolomé Ramos de Pareja, dans sa Musica de 1482, a proposé d'accorder des tierces majeures pures, correspondant au rapport numérique 4/5 : c'est la première fois que le système pythagoricien est abandonné dans la théorie musicale. Cet abandon de l'orthodoxie pythagoricienne a rapidement amené au développement des tempéraments mésotoniques, rendus nécessaires par l'importance croissante des instruments à clavier dans la pratique musicale. Le plus remarquable et le plus usité des tempéraments mésotoniques est le tempérament « au quart de comma » : puisque la tierce majeure pythagoricienne, qui s'obtient en quatre quintes (comme do-sol-ré-la-mi), est trop grande d'un comma, il suffit de diminuer chacune des quintes d'un quart de comma pour aboutir à une tierce pure. (Voir ci-dessous, Les tempéraments mésotoniques et l'article spécialisé Tempérament mésotonique.)

Clavier de l'archicembalo.

L'abandon de l'orthodoxie pythagoricienne a amené les théoriciens à s'interroger sur la possibilité de jouer « juste », c'est-à-dire de jouer exclusivement des intervalles purs. Différents systèmes ont été proposés, le plus connu étant le « système de Zarlino » (voir Intonation juste). Ces systèmes sont utopiques, parce qu'ils requièrent plusieurs formes de la même note pour divers contextes. C'est l'une des raisons qui ont mené à concevoir des instruments à clavier à plus de douze notes par octave. Ainsi, le clavier proposé au milieu du XVI^e siècle par Nicola Vicentino pour son Archicembalo proposait 36 touches dans l'octave, produisant 32 notes différentes.

Dès le XVII^e siècle, divers tempéraments irréguliers ont été proposés, où les quintes sont tempérées différemment, certaines plus que d'autres, introduisant des différences d'intonation d'une tonalité à l'autre. L'invention des logarithmes par Lord Neper vers 1615 a permis en outre de calculer les intervalles tempérés, qui n'étaient pas représentables sous forme de rapports de nombres entiers, et les réflexions approfondies sur le tempérament égal ont rapidement suivi. Celui-ci ne s'est pourtant pas imposé avant le XIX^e siècle au plus tôt, notamment parce qu'il ne faisait plus de différences entre les tonalités.

Problématique

Accord des instruments avec des intervalles purs

Articles détaillés : Intonation juste et Gamme naturelle.

L'accord des instruments de musique se fait à partir d'intervalles « purs » (ou « justes »), qui sont déformés (tempérés) si nécessaire. Les intervalles purs sont généralement des consonances, dont la définition est très problématique. Pour ce qui nous concerne, les notions de pureté ou de justesse s'opposent à des idées d'impureté ou de fausseté. On peut donc proposer ici une définition un peu inhabituelle de la consonance mais qui est pourtant la plus générale : les intervalles consonants (purs, justes) sont ceux qui se distinguent le plus facilement des intervalles non consonants (impurs, faux) ; ce sont ceux qui ont la meilleure « définition » acoustique. La consonance est alors l'accordage qui réduit au minimum les battements de l'intervalle. Le battement (physique) se définit en acoustique par l'interférence entre deux signaux de fréquences proches. Dans le cas des intervalles consonants, il ne s'agit pas tant des fréquences fondamentales des notes concernées, que de celles de leurs harmoniques. L'opposition consonance / non consonance concerne donc en premier lieu les notes ayant de nombreux sons harmoniques en commun — c'est-à-dire, puisque les fréquences des sons harmoniques sont entre elles dans des rapports de nombres entiers^[14], que les intervalles les plus consonants sont ceux qui correspondent aux rapports numériques les plus simples. Ce ne sont pas les rapports simples en eux-mêmes qui définissent la consonance, mais le fait que les séries harmoniques qui leur correspondent comportent un grand nombre de sons harmoniques en commun. Par exemple:

Si deux sons sont dans un rapport de fréquences de 1 à 2 (ce qu'on définit comme l'octave), les harmoniques du premier correspondent à la série des nombres entiers, 1, 2, 3, 4, 5, etc., et ceux du second à la série des nombres pairs, 2, 4, 6, 8, 10, etc. Il est évident que tous les harmoniques du second sont aussi des harmoniques du premier : il y a concordance totale entre les deux séries, la consonance est totale. Et si l'un des deux sons était légèrement désaccordé, les deux séries légèrement décalées l'une par rapport à l'autre produiraient un nombre élevé de battements : la dissonance serait immédiatement très élevée.
Si les deux sons sont dans un rapport de 4 à 5 (la tierce majeure pure), les harmoniques du premier seraient 4, 8, 12, 16, 20, etc., et celles du second 5, 10, 15, 20, 25, etc. La première concordance se situe à 20, harmonique 5 du premier son et 4 du deuxième ; si on prolonge les séries, on vérifiera aisément que tous les harmoniques multiples de 5 de la première concordent avec les multiples de 4 de la seconde. Et si l'un des deux sons est désaccordé, c'est sur ces multiples communs que les battements se produisent en premier lieu, mais la dissonance sera moins manifeste que dans le premier cas.

On peut noter au passage que la technique normale de l'accordage ne consiste pas à accorder une note par exemple à la tierce majeure juste d'une autre, mais bien à accorder l'harmonique 4 de l'une à l'unisson de l'harmonique 5 de l'autre : les accordeurs sont experts dans l'écoute des harmoniques et des éventuels battements entre elles, et les accordages se font essentiellement par des mises à l'unisson d'harmoniques. Un violoniste qui s'accorde, de même, n'accorde pas les deux cordes à la quinte l'une de l'autre, mais accorde l'harmonique 2 de l'une à l'unisson de l'harmonique 3 de l'autre ; lorsqu'il y arrive, tous les harmoniques multiples de 2 et de 3 se mettent ensemble à l'unisson et la qualité de la consonance qui en résulte éclate assez soudainement avec une extraordinaire brillance. Une écoute attentive du phénomène permettra de percevoir qu'alors que l'accord s'améliore, la sensation de consonance diminue d'abord, puis qu'elle se réalise à l'extrême fin du processus.

Une autre conséquence de ce qui précède est que l'opposition consonance / non consonance est étroitement liée à l'existence de sons harmoniques, c'est-à-dire périodiques. Le vibrato des violons, par exemple, a pour effet de créer une certaine inharmonicité, donc de réduire la périodicité : la non consonance de sons vibrés est moins perceptible, de sorte que ces sons paraissent plus justes. Ces problèmes se posent assez peu pour un certain nombre d'instruments non européens (percussions, en particulier), pour lesquels par conséquent la question des gammes et des tempéraments ne se pose pratiquement pas.

Parce que, dans le cas d'un instrument à sons fixes, le nombre des notes dans chaque octave est limité, il n'est pas possible d'accorder tous les intervalles purs. On peut accorder par exemple une quarte juste ascendante, rapport 4/3, suivie d'une tierce mineure pure descendante, rapport 5/6, pour obtenir une note à un ton de la première, correspondant au rapport 10/9 (par exemple do-fa-ré, 4/3 x 5/6 = 20/18 = 10/9), ou accorder deux quintes justes ascendantes correspondant au rapport 3/2 et réduire d'une octave pour obtenir de même une note à un ton de la première, correspondant cette fois au rapport 9/8 (par exemple, do-sol-ré, (3/2)²/2 = 9/8). Mais nos instruments à sons fixes à douze notes dans l'octave ne peuvent pas donner à la fois ces deux notes, distantes l'une de l'autre d'un intervalle correspondant au rapport 81/80 (9/8 / 10/9), soit un comma syntonique.

C'est pour cette raison que l'intonation juste est en quelque sorte une vue de l'esprit, qui permet d'envisager en théorie des intervalles irréalisables en pratique, en tout cas sur des instruments à sons fixes. Dans le cas décrit ci-dessus, l'intervalle d'un ton correspondant au rapport 10/9 est le « ton mineur » de l'intonation juste, correspondant à environ 1,82 demi-ton tempéré, alors que celui qui correspond à 9/8 est le « ton majeur », 2,04 demi-tons tempérés. Pour accorder un instrument à sons fixes, il sera donc nécessaire de réaliser un compromis entre ces deux intervalles (et entre un certain nombre d'autres) : il faut les « tempérer ».

Bien que Gioseffo Zarlino soit souvent considéré comme l'inventeur de l'intonation juste, ou du moins comme l'un de ses principaux défenseurs au XVI^e siècle, à tel point que l'intonation juste elle-même est souvent décrite comme la « gamme de Zarlino », il ne l'a pas décrite complètement lui-même, se contentant de la mentionner comme fondement naturel de la gamme, tout en ajoutant que le tempérament était une nécessité pratique.

Les tempéraments

Les accords à bases d'intervalles purs ne posaient pas de problèmes dans la musique modale, où l'accordage même imparfait permettait néanmoins de jouer un morceau entier dans une tonalité unique.

Mais au fur et à mesure du développement de la musique, qui utilisait de plus en plus les transpositions, les modulations, et les échelles chromatiques, il devenait compliqué de limiter les instruments à quelques modalités. Il n'était plus possible de voir apparaître dans ces transpositions les intervalles dissonants entre certains degrés de la gamme naturelle : de ce fait, la transposition ou la modulation entre des tonalités trop différentes (par leur coloration ou leurs intervalles dissonants) n'est pas toujours possible.

Pour réduire ces dissonances, il est nécessaire d'ajuster de corriger l'intervalle entre certaines notes. C'est sur la base de ce consensus - à l'origine, inconscient - qu'ont été élaborées la gamme heptatonique occidentale et ses différentes variantes. Nombre d'instruments accordés sur des tempéraments anciens permettent toutes les modulations que l'on veut, mais avec une forte coloration de la justesse sur les tonalités éloignées, coloration que certaines oreilles modernes ne trouvent guère acceptables.

Seul le tempérament égal permet n'importe quelle transposition sans aucune coloration (utile pour l'accompagnement des chanteurs), mais ceci au prix d'un « aménagement » de la justesse, qui n'a pas toujours séduit les musiciens.

Construction

Cette question d'esthétique musicale se traduit assez directement en termes mathématiques, du fait que les sons harmoniquement consonants sont dans un rapport de fréquence s'exprimant par une fraction simple. Il y a plusieurs aspects de la question, mais les deux principaux problèmes numériques (qui se reflètent dans la pratique musicale) sont ceux-ci:

En partant d'une note donnée, douze quintes diffèrent quelque peu de sept octaves. L'écart (de l'ordre d'un huitième de ton) est le comma pythagoricien ou ditonique, de 23,48 cents (centième de demi-ton), soit de l'ordre de deux cent par quinte.
En partant d'une note donnée, quatre quintes successives ne donnent pas tout à fait une tierce pure. Par exemple, la succession do-sol-ré-la-mi donne un mi différent de celui obtenu par une tierce pure). L'écart est le comma syntonique, de 21,51 cent, donc un peu moins dissonant que le précédent par lui-même, mais réparti sur quatre intervalles au lieu de douze, conduisant à un écart beaucoup plus notable de cinq cents par quinte.

La quasi-équivalence entre ces deux commas est un fait mathématique remarquable. (23,5 cents pour le comma pythagoricien et 21,5 cents pour le comma syntonique). De fait, la plupart des tempéraments inventés au cours de l'histoire se chargent de répartir essentiellement le comma pythagoricien dans le cycle des quintes, mais, pour autant, l'essentiel de ces tempéraments travaillent à une plus grande justesse des tierces (dont la fausseté s'illustre par le comma syntonique) tout en gardant les quintes acceptables. La différence entre ces deux commas est le schisma, très petit intervalle de 2 cents, dont on tient parfois compte dans la réalisation de certains tempéraments au clavecin.

Illustration de Le istitutioni harmoniche, un clavier avec 19 touches par octave.

De façon annexe, les tempéraments ont souvent eu pour but complémentaire de faire coïncider les dièses et les bémols, afin d'améliorer la « jouabilité » des instruments. Il faut toutefois noter que cette préoccupation n'a pas toujours prévalu, et que des instruments à clavier qui disposaient de touches distinctes pour les deux altérations ont été construits avant le XVIII^e siècle.

Cette constatation a imposé de trouver des compromis pour pouvoir pratiquer la musique sur de tels instruments. On appelle « tempérament » de tels compromis qui peuvent tendre :

à éliminer autant que possible l'effet sensible des commas, en plaçant ou en répartissant ceux-ci dans des intervalles inusités ;
à simplifier les échelles musicales en confondant les notes enharmoniques ;
à permettre ou faciliter les transpositions et modulations.

Évolution des tempéraments

Accord pythagoricien

Article détaillé : Accord pythagoricien.

Quinte du loup dans le cycle des quintes

L'accord pythagoricien est construit par concaténation de quintes justes. Mais après douze quintes une telle série dépasse l'octave d'un comma.

Pour conserver les quintes justes il faut accepter une quinte réduite de ce comma sachant qu'elle est inutilisable : c'est la « quinte du loup » désagréable à l'oreille. Aussi, la tierce pythagoricienne, plus grande que la tierce majeure, est musicalement instable^[15].

Gamme de Zarlino

Article détaillé : Gamme naturelle.

Gioseffo Zarlino (1517–1590) fut le premier à reconnaitre l'importance de la tierce majeure comme intervalle fondateur de l'harmonie. La juste intonation qu'il conceptualise (voir Zarlino) est induite par les imperfections constatées dans l'accord pythagoricien et le souhait d'avoir le maximum d'intervalles sonnant juste dans un système à douze intervalles par octave.

Il élabore une gamme naturelle en reconnaissant donc une place importante à l'intervalle de tierce « pure », et plus généralement aux intervalles purs, c'est-à-dire correspondant à un rapport de fréquence s'exprimant par une fraction simple.

La tierce est basée sur des harmoniques qui multiplient ou divisent la fréquence par cinq, au lieu d'un facteur trois comme dans la gamme de Pythagore. Entre la quarte et le ton majeur, l'introduction de facteurs « cinq » permet de travailler sur les rapports 5/4 (=1,25) et 6/5 (= 1,2). Ces deux rapports sont particulièrement simples, acoustiquement ils sonnent bien avec la fondamentale. Enfin, puisque (5/4) x (6/5) = 6/4 = 3/2, on voit que leur addition donne une quinte. Ces intervalles, respectivement nommés « tierce majeure » et « tierce mineure » vont jouer un rôle de premier plan, avec l'octave et la quinte, dans la construction des gammes naturelles, qui ont de nombreuses variantes.

Par rapport à la gamme tempérée, les écarts de la gamme de Zarlino sont (en supposant la gamme accordée sur une tonique de do) :

Note	do	ré	ré	mi	mi	fa	fa / sol	sol	la	la	si	si
Rapport	1/1	16/15	9/8	6/5	5/4	4/3	45/32 ou 64/45	3/2	8/5	5/3	9/5	15/8
Écart	0	+11.73	+3.91	+15.64	-13.69	-1.96	± 9.78	+1.96	+13.69	-15.64	+17.6	-11.73

On voit que les écarts par rapport à la gamme tempérée sont assez importants sur les tierces et sixtes (de l'ordre de 14 cent), ainsi que sur la septième (17 cent). On peut en fait lire ces écarts dans l'autre sens: par rapport à une gamme formée d'intervalles purs, c'est le degré de fausseté perceptible sur la gamme tempérée. Ces intervalles commencent à être audibles pour une oreille exercée.

Les tempéraments mésotoniques

Article détaillé : Tempérament mésotonique.

On parle de tempéraments réguliers lorsque les corrections apportées aux intervalles s'appliquent également à tous, aucun intervalle particulier n'étant musicalement juste : ce sont donc les tempéraments mésotoniques et le tempérament égal (qui est un mésotonique particulier). Les tempéraments inégaux sont dits « irréguliers ».

L'idée des tempéraments mésotoniques est de diminuer toutes les quintes d'une certaine fraction du comma syntonique, de façon à rendre plus pures les tierces majeures sans pour autant trop fausser les quintes (l'écart résiduel venant du comma pythagoricien qui reste toujours concentré sur la quinte du loup).

Puisque la correction s'applique uniformément à toutes les quintes, les tierces majeures engendrées restent toujours égales à deux tons majeurs (les proportions sont conservées) ce qui n'est pas le cas avec les tempéraments inégaux. C'est cette propriété du « ton moyen » qui est à l'origine du terme « mésotonique » - on utilise aussi l'expression « tempérament régulier ».

Le tempérament mésotonique à quart de comma syntonique est le plus utilisé. S'il rend les tierces plus pures, il fausse légèrement les quintes (ainsi d'ailleurs que les quartes), et ceci n'est pas indifférent car l'oreille est plus sensible à la pureté des quintes qu'à celle des tierces.

D'autres tempéraments mésotoniques présentent un meilleur compromis en répartissant la « fausseté » de façon plus équilibrée entre tierces et quintes : c'est le cas du tempérament à 1/6 ou 1/8 de comma. A l'extrême, le tempérament à douzième de comma pythagoricien fait disparaître la quinte du loup : c'est le tempérament égal.

Les tempéraments mésotoniques sont assez pratiqués dans la musique baroque, ils permettent des modulations acceptables dans les tons voisins de la tonique.

Les tempéraments inégaux

Article détaillé : Tempérament inégal.

L'idée des tempéraments inégaux vient du fait que, dans la pratique musicale, et spécialement à l'époque baroque avant que ne se généralise l'emploi de la gamme au tempérament égal, tous les intervalles de quinte et de tierce majeure ne sont pas également usités.

On va donc essayer de réduire les effets indésirables du comma syntonique, voire du comma pythagoricien, en les divisant de telle manière qu'on améliore la qualité de certains intervalles de quintes (donc de tierces), les intervalles les moins pratiqués pouvant se satisfaire de consonances moins bonnes.

À propos du clavecin et du clavicorde, C.P.E. Bach écrit : « Les deux sortes d'instruments doivent être bien tempérés : en accordant les quartes et les quintes, avec les tierces majeures et mineures et les accords complets pour preuves, il faut affaiblir un tant soit peu la justesse des quintes, en sorte que l'oreille la perçoive à peine et que les vingt quatre tons soient tous utilisables. »

Les possibilités sont extrêmement nombreuses et cette étude a mobilisé un grand nombre de théoriciens aux XVII^e et XVIII^e siècles, chacun proposant sa propre solution censée représenter le meilleur compromis : Werckmeister, Chaumont, Kirnberger, Rameau, Vallotti etc.

Dans le cadre d'un tempérament inégal, toutes les quintes (et conséquemment toutes les tierces) n'ont pas la même valeur en termes de rapports de fréquences : chaque tonalité possédait donc une « couleur sonore » particulière. Joie, tristesse, sérénité, mélancolie, etc. s'expriment dans le choix de tonalités censées mieux les représenter : ce critère est mis en pratique par les grands compositeurs tels que Bach et Couperin qui y attachent beaucoup d'importance. Tous ne s'accordent d'ailleurs pas exactement sur le caractère prêté à chaque tonalité. Le choix du tempérament utilisé peut, à l'inverse, être déterminé par la tonalité choisie et les modulations envisagées au cours d'une même pièce, certains étant mieux appropriés que d'autres.

Ces préoccupations ont complètement disparu depuis que la gamme tempérée a été adoptée de façon universelle par les compositeurs. Mais les tempéraments inégaux sont particulièrement adaptés à l'exécution du répertoire baroque, et les ensembles spécialisés les pratiquent couramment.

Le tempérament égal (gamme tempérée)

Article détaillé : Gamme tempérée.

La gamme au tempérament égal, ou simplement tempérament égal, ou encore gamme tempérée ( pour lever le doute, il suffit de l'appeler gamme bien tempérée ) est de nos jours utilisée de façon presque universelle dans la musique occidentale (à noter, cependant, que le piano sort de l'échelle du tempérament égal dans l'aigu : voir Inharmonicité du piano). Seuls les musiciens jouant sur des instruments dits « anciens » utilisent d'autres systèmes, selon le style en cours à l'époque de la composition.

Le tempérament égal, qui s'est imposé avec le changement de goût à l'époque de la Révolution française (voir Inégalités dans la musique baroque) consiste, pour ainsi dire, à « trancher le nœud gordien » des inconvénients de tous les autres systèmes qui tentaient des compromis entre justesse de certains intervalles, fausseté pas trop marquée des autres, possibilités de transposition et/ou de modulation. Connu depuis longtemps (déjà mentionné au XVI^e siècle, par Mersenne et par Praetorius, à propos des violes), mais peu utilisé alors, il consiste tout simplement à diviser l'octave en douze intervalles chromatiques tous égaux.

Cette idée simple permet toutes les transpositions et toutes les modulations imaginables, puisque toutes les notes sont équivalentes quand on les considère comme toniques. Elle présente deux inconvénients. Le premier, qui est de taille, explique la réticence des musiciens à l'adopter avant la période dite « classique » : à l'exception des octaves, tous les intervalles sont légèrement faux. Toutefois, hormis certains cas particuliers concernant principalement des tierces majeures (voir : Justesse des tierces), les écarts sont suffisamment faibles pour être admissibles. Et l'habitude aidant, puisque de nos jours quasiment toutes les musiques que nous entendons l'utilisent, cette faible dissonance ne choque personne, et c'est au contraire les anciens tempéraments qui surprennent notre oreille lorsque nous les expérimentons pour la première fois. Le second inconvénient est que, dans le tempérament égal, toutes les tonalités ont la même couleur et ce n'est pas forcément ce que les musiciens recherchent. Chez Mozart, par exemple, le choix des tonalités conserve une grande importance, y compris dans toute sa musique de piano, ce qui va à l'encontre d'un système dans lequel toutes les tonalités sont strictement équivalentes.

Si l'on se rappelle qu'additionner des intervalles revient à effectuer des multiplications de rapports de fréquence, on voit que celui de l'octave égale celui du demi-ton chromatique élevé à la puissance douze ou encore que le rapport de fréquence du demi-ton chromatique vaut ${\sqrt[{12}]{2}}$ en l'absence d'inharmonicité.

La gamme tempérée présente l'avantage d'être totalement "neutre" par rapport aux problèmes de transpositions, qui précisément justifient la présence de tempéraments. Les écarts des différentes gammes par rapport à la gamme tempérée permettent donc d'apprécier comment un tempérament particulier présentera des irrégularités dans ses différentes transpositions.

Tempérament par division multiple

Article détaillé : Tempérament par division multiple.

Plusieurs théoriciens ont conçu des tempéraments basés sur une division de l'octave en plus de douze intervalles élémentaires. Constatant que la division en douze intervalles égaux n' aboutit pas à la pureté des intervalles de quinte et de tierce, ils ont recherché si une division de l'octave en un nombre différent d'intervalles ne permettait pas de se rapprocher de cette pureté idéale. De fait, plusieurs schémas de division ont ainsi été déterminés, qui permettent parfois d'améliorer aussi la qualité des autres notes.

Ces approches très théoriques ne se sont pas popularisées à ce jour.

Comparaison des fréquences de notes de la gamme chromatique dans différents systèmes

Les fréquences des notes de la gamme bien tempérée peuvent être obtenues facilement par la formule : F(n)= F(La).2^(n/12) .

Avec : F(La)=Diapason, et n= rang de la note soit :

n	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
Note	do	do#	ré	mib	mi	fa	fa#	sol	sol#	La	sib	si	do+

Tableaux comparatifs

Premier tableau : même la

**Fréquences des notes dans 3 systèmes, la=440 Hz**
Note	Gamme de Zarlino	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
do	264,00	260,74	261,63
do	275,00	278,44	277,18
ré	297,00	293,33	293,66
mi	316,80	309,03	311,13
mi	330,00	330,00	329,63
fa	352,00	347,65	349,23
fa	371,25	371,25	369,99
sol	396,00	391,11	392,00
sol	412,50	417,66	415,30
la	440,00	440,00	440,00
si	475,20	463,54	466,16
si	495,00	495,00	493,88
do	528,00	521,48	523,25

Dans ce tableau :

la note la est commune à 440 Hz (diapason actuel)
les gammes naturelles sont représentées par la gamme de Zarlino à partir de do
la gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre sol et mi .

Second tableau : même do

**Fréquences des notes dans 3 systèmes, do=264 Hz**
Note	Gamme de Zarlino	Gamme de Pythagore	Gamme tempérée
do	264,00	264,00	264,00
do	275,00	281,92	279,70
ré	297,00	297,00	296,33
mi	316,80	312,89	313,95
mi	330,00	334,13	332,62
fa	352,00	352,00	352,40
fa	371,25	375,89	373,35
sol	396,00	396,00	395,55
sol	412,50	422,88	419,07
la	440,00	445,50	443,99
si	475,20	469,33	470,39
si	495,00	501,19	498,37
do	528,00	528,00	528,00