Théorème de Prokhorov

En mathématiques, et plus précisément en théorie de la mesure, le théorème de Prokhorov relie le concept de tension à la compacité relative dans l'espace des mesures de probabilité, ou plus généralement des mesures finies. Ce théorème[1] porte le nom du mathématicien Iouri Prokhorov.

DéfinitionsModifier

Soit   un espace topologique complètement régulier. Cette hypothèse couvre les deux cas particuliers importants : espace localement compact et espace métrisable.

  désigne l'espace de Banach des fonctions continues bornées sur   (muni de la norme uniforme) et   le sous-espace des fonctions nulles à l'infini (c'est-à-dire les fonctions   telles que pour tout  , il existe un compact   tel que  ).

D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de   est l'espace   des mesures de Radon bornées. Il contient l'ensemble   des mesures positives bornées et le sous-ensemble   des mesures de probabilité.

On rappelle que :

  •   est muni de deux topologies faibles (qui coïncident si   est compact) :
    •   (topologie faible-*) : la topologie de la convergence simple sur  ,
    •   (topologie étroite (en)) : la topologie (plus fine) de la convergence simple sur   ;
  • le cône convexe   est *-faiblement fermé.

ÉnoncéModifier

Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures de probabilité est tendu, alors il est relativement compact[2] pour la topologie étroite.

La réciproque est vraie si l'espace vérifie une hypothèse un peu plus forte comme localement compact ou polonais.

Si l'espace   est compact, la tension est trivialement toujours vérifiée en prenant  , mais dans ce cas le théorème n'est qu'une expression inutilement compliquée du théorème de Banach-Alaoglu.

GénéralisationsModifier

Une première généralisation, facile, passe des probabilités aux mesures positives finies :

Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures positives finies est tendu et borné (au sens de la norme sur  ), alors il est relativement compact pour la topologie étroite.

La réciproque est vraie si l'espace vérifie une hypothèse un peu plus forte, par exemple localement compact ou polonais.

Le théorème est encore vrai si l'on supprime l'hypothèse de positivité :

Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures finies est tendu et borné (au sens de la norme sur  ), alors il est relativement compact pour la topologie étroite.

La réciproque est vraie si   vérifie une hypothèse un peu plus forte, par exemple localement compact ou polonais.

Mais il faut prendre garde que la définition de la tension porte alors non pas sur les mesures   elles-mêmes mais sur leurs variations totales  . Les démonstrations données ci-dessus ne s'adaptent pas facilement à ce nouveau contexte, car l'application   n'est pas étroitement continue.

Exemple : prendre sur   les mesures de densité   : la suite   converge étroitement vers la mesure nulle mais la suite   converge vers la mesure de densité constante   ; variante : on prend   comme précédemment, et   ; la suite   tend encore étroitement vers la mesure nulle, mais la suite   diverge. De plus, les arguments de semi-continuité ne sont plus valables.

Bogachev 2007 donne une démonstration dans le cas où   est un espace polonais, et des variantes et contre-exemples. Bourbaki 1969 et Jarchow 1981 donnent des démonstrations dans le cas général où   est un espace complètement régulier.

Notes et référencesModifier

  1. (en) Yuri V. Prokhorov, « Convergence of random processes and limit theorems in probability theory », Theory Probab. Appl., vol. 1, no 2,‎ , p. 157-214 (DOI 10.1137/1101016).
  2. Dans   ou, ce qui revient au même, dans  , puisque   est étroitement fermé.
  • Laurent Schwartz, « Probabilités cylindriques et applications radonifiantes », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, vol. 18,‎ , p. 139-286, annoncé en 1969 dans une note aux CRAS
  • (en) Laurent Schwartz, Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures, Oxford University Press, coll. « Tata Institute Monographs on Mathematics and Physics »,
  • Bourbaki, intégration chapitre 9 §5, Springer,
  • (en) V. I. Bogachev, Measure Theory, vol. 2, Springer,
  • (en) Hans Jarchow, Locally convex spaces, Teubner,