Tension des mesures

En mathématiques, la tension est un concept de la théorie de la mesure. Intuitivement, une famille de mesures est tendue si elle ne « s'échappe pas vers l'infini ».

DéfinitionsModifier

Soit (X,T) un espace topologique et soit   une  -algèbre sur X qui contient la topologie T. Ainsi, tout ensemble ouvert de X est un ensemble mesurable et   est au moins aussi fine que la tribu borélienne sur X. Soit M une famille de mesures (éventuellement signées ou complexes) définies sur  .

La famille M est dite tendue ou parfois uniformément tendue si, pour tout  , il existe un ensemble compact   de X tel que, pour toutes mesures   de M :

 

  est la mesure de variation totale de  .

Dans le cas des mesures de probabilité, la définition s'écrit sous la forme :

 

Dans le cas où la famille M consiste en une seule mesure  , la mesure est alors appelée mesure tendue ou une mesure intérieurement régulière.

ExemplesModifier

Espaces compactsModifier

Si X est un espace compact, alors toute famille de mesures (éventuellement complexes) sur X est tendue.

Espace polonaisModifier

Si X est un espace polonais, alors toute mesure de probabilité sur X est tendue. De plus, par le théorème de Prokhorov, une famille de mesures de probabilité est tendue si et seulement si elle est relativement compacte pour la topologie de la convergence faible des mesures.

Famille de mesures ponctuellesModifier

Considérons la ligne réelle   munie de la topologie borélienne. Soit   la mesure de Dirac ayant une unique masse au point x. La famille

 

n'est pas tendue, puisque les sous-ensembles compacts de   sont précisément les ensembles fermés bornés, et ces ensembles ont une masse nulle pour les mesures   pour n suffisamment grand.

Cependant, la famille

 

est tendue, en effet, l'intervalle [0,1] est considéré comme   pour tout  . En général, une famille de mesures de Dirac sur   est tendue si et seulement si la famille de leur support est bornée.

Famille de mesures gaussiennesModifier

Considérons l'espace euclidien   muni de sa tribu borélienne usuelle. Considérons une famille de mesures gaussiennes :

 

où la mesure   sur   a pour moyenne   et pour variance  . Alors la famille   est tendue si et seulement si les familles   et   sont toutes deux bornées.

Tension et convergenceModifier

La tension est souvent un critère nécessaire pour démontrer la convergence faible d'une suite de mesures de probabilité, plus particulièrement quand l'espace des mesures est de dimension infinie. Voir :

Tension exponentielleModifier

La tension exponentielle est une généralisation de la tension des mesures qui a des applications pour le principe de grandes déviations. Une famille de lois de probabilité   sur un espace topologique séparé X est exponentiellement tendue si, pour tout  , il existe un sous-ensemble compact   de X tel que

 

Articles connexesModifier

BibliographieModifier