Théorème de Müntz

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Le théorème de Müntz-Szász est un résultat fondamental de la théorie de l'approximation, conjecturé en 1912 par Sergeï Bernstein[1] et démontré en 1914 par Herman Müntz (en)[2]. En 1916, Otto Szász l'a étendu à des exposants complexes et en a fourni une preuve plus simple[3].

Pour I un segment quelconque de , le théorème de Weierstrass assure que toute fonction continue de I dans est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Le théorème de Müntz-Szász est une généralisation du théorème de Weierstrass, dans le cas où le segment I est positif, avec un ensemble d'« exposants de monômes » différent de celui des entiers naturels, mais satisfaisant une condition analogue à celle de la divergence de la série harmonique.

ÉnoncéModifier

Soient :

Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

  • La suite   satisfait :  

Démonstration du sens indirectModifier

Nous allons démontrer que l'hypothèse   est suffisante pour que   soit total dans  . La preuve suivante[4] (pour I = [0, 1]) nécessite l'hypothèse supplémentaire[5] λn → +∞ mais « a deux avantages distincts par rapport à la majorité des preuves connues du même résultat : elle est à la fois constructive et courte[6]. »

Les hypothèses sont donc :   et il suffit (d'après le théorème de Weierstrass) de montrer que pour tout entier m > 0, il existe une suite de fonctions Pn(x), combinaisons linéaires (à coefficients complexes) des xλk, telle que la différence Qn(x) := xmPn(x) converge uniformément vers 0 sur [0, 1]. On définit par récurrence une telle suite en posant :   On vérifie facilement (par récurrence) que :

  1. chaque Qn est la différence de xm et d'une combinaison linéaire des xλk pour kn ;
  2. en notant ║ ║ la norme de la convergence uniforme sur [0, 1], ou encore, en appliquant le logarithme : 

Puisque λn → +∞, on a l'équivalent   Par comparaison des séries, on en déduit que ln║Qn║ → –∞, c'est-à-dire Qn║ → 0.

Notes et référencesModifier

  1. S. Bernstein, « Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes », dans Proc. 5th ICM, vol. 1, (lire en ligne), p. 256-266.
  2. (de) Ch. H. Müntz, « Über den Approximationssatz von Weierstraß », dans C. Carathéodory, G. Hessenberg, E. Landau et L. Lichtenstein (en), Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum, Springer, (lire en ligne), p. 303-312.
  3. (de) O. Szász, « Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen », Math. Ann., vol. 77,‎ , p. 482-496 (lire en ligne).
  4. (en) Manfred von Golitschek, « A short proof of Müntz Theorem », J. Approx. Theory, vol. 39,‎ , p. 394-395 (DOI 10.1016/0021-9045(83)90083-7).
  5. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], 1978, th. 15.26, p. 294, donne une démonstration sans cette hypothèse, à l'aide d'un théorème sur la répartition des zéros d'une fonction holomorphe bornée sur un disque.
  6. (en) José María Almira, « Müntz type theorems I », Surveys in Approximation Theory, vol. 3,‎ , p. 152-194 (arXiv 0710.3570).