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Série convergente

Série dont la suite de ses sommes partielles admet une limite finie

En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet — il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.

Sommaire

Définition et propriétés généralesModifier

Les séries considérées sont numériques (à termes réels ou complexes), ou vectorielles, à valeurs dans un espace vectoriel normé. On dit que la série de terme général   converge lorsque la suite   des sommes partielles converge, où pour tout entier naturel n,

 

Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles

 

Si on modifie un nombre fini de termes d'une série, alors on ne change pas sa nature (convergence ou divergence). Bien sûr, si la série est convergente, changer ses premiers termes modifie sa somme.

Condition nécessaire, divergence grossièreModifier

Si la série   est convergente, alors la suite   converge vers 0 puisque

 

Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.

Exemple :   est une série grossièrement divergente

Convergence absolueModifier

Article détaillé : convergence absolue.

La convergence absolue fournit une condition suffisante très fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série   à termes réels ou complexes est absolument convergente lorsque la série de terme général   (valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe) est convergente. Et dans ce cas, la série   elle-même converge.

Plus généralement, si   est une série à termes dans un espace de Banach, on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général   est convergente. Et dans ce cas, la série   elle-même converge.

Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquelles existent de nombreux résultats spécifiques.

Séries de réels positifsModifier

Si tous les termes   sont des réels positifs, la série   est dite à termes positifs. Pour une telle série, la suite des sommes partielles   est croissante. Elle est alors soit convergente, soit divergente de limite infinie.

Principe général : règles de comparaisonModifier

Il est possible d'énoncer une règle de comparaison entre deux séries à termes positifs sur laquelle s'appuient les autres règles d'étude.

  • Si les séries ont des termes généraux an et bn positifs, avec en outre pour tout n, anbn : si la série de terme général bn est convergente, celle de terme général an converge aussi (ou, ce qui est équivalent : si la série de terme général an est divergente, celle de terme général bn diverge aussi).
    Bien sûr, effectuer la comparaison à partir d'un certain rang suffit.
  • Plus généralement, si la suite (an) est dominée par (bn) (an = O(bn) avec les notations de Landau — en particulier si les termes sont strictement positifs et si pour tout n,  ) : si bn converge, alors an aussi.
  • Par conséquent,si an ~ bn alors les séries an et bn sont de même nature. (De plus — voir Théorème de Stolz-Cesàro — cette équivalence de suites est transmise aux sommes partielles si les deux séries divergent, et aux restes si elles convergent.)

Ces critères ne peuvent être appliqués qu'à des séries à termes positifs. Par exemple les séries de terme général

 

sont, la première, convergente, et la seconde divergente.

Règles de convergence pour les séries à termes positifsModifier

Article principal : Test de convergence.

Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détaillée dans l'article correspondant.

  • Règle de d'Alembert
    Soit   une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport   tend vers une limite L . Dans ces conditions la série : converge si L < 1 ; diverge si L > 1 ; si L = 1 on ne peut pas conclure.
    Il existe une règle de Raabe-Duhamel pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux (L = 1).
  • Règle de Cauchy
    Si les termes   sont strictement positifs et s'il existe une constante C < 1 telle que   , alors   est convergente.
  • Règle de comparaison série-intégrale
    Si   est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle [1, ∞[, alors la série   et l'intégrale   sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

Autres méthodesModifier

Critère de CauchyModifier

Une série à valeurs dans un espace de Banach est convergente si (et seulement si) ses sommes partielles forment une suite de Cauchy, c'est-à-dire :  

Exemple : dans l'espace ℓp(ℕ) muni de sa base de Schauder canonique (δn)n∈ℕ, pour toute suite (λn)n∈ℕ de scalaires telle que ∑n∈ℕn|p < +∞, la série de terme général λnδn est inconditionnellement convergente, puisqu'elle et toutes ses permutées vérifient le critère de Cauchy et que l'espace est complet.

Règle de Leibniz pour les séries alternéesModifier

Test de DirichletModifier

Article détaillé : test de Dirichlet

Soient

  •   une suite réelle décroissante qui tend vers 0 ;
  •   une suite complexe telle que pour un certain réel   :  

Alors   est convergente.

Articles connexesModifier