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En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.

ÉnoncéModifier

Soit l'équation définie de la manière suivante :

 

avec P un polynôme à coefficients rationnels. Le problème est de trouver le nombre X de solutions de cette équation dans l'ensemble des rationnels.

Le nombre de solutions dépend du genre de la courbe C associée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir deux morceaux distincts) :

  • si le genre vaut 0 (cas des courbes unicursales, par exemple une droite), alors :
    • soit X = 0,
    • soit X = ∞ ;
  • si le genre vaut 1, alors :
  • si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.

ApplicationModifier

Soit l'équation de Fermat :

 

dont on cherche les solutions entières. Si   est une solution avec   non nul, alors   est une solution à coordonnées rationnelles de l'équation

 

Elle correspond à une courbe de genre  . Ainsi, pour   supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer le dernier théorème de Fermat, alternative à celle suivie par Andrew Wiles, n'a donc pas encore abouti ; au demeurant, elle ne permettrait (en théorie) qu'une démonstration constructive pour chaque valeur de n donnée, mais non en général.