Corps de fonctions

En mathématiques, un corps de fonctions est un corps commutatif F de type fini sur un corps de base K. On le note habituellement F/K, ou, si le contexte est clair, seulement F. De façon équivalente un corps de fonctions « à n variables » est une extension finie F d'un corps K(t1, … , tn) de fractions rationnelles à n indéterminées. F est alors de degré de transcendance n sur K.

  • Une extension de est un corps de fonctions (à variables) si et seulement si c'est le corps des fonctions rationnelles (en) d'une variété algébrique intègre sur (de dimension ).
  • Un corps de fonctions à une variable sur un corps fini est un corps global de caractéristique positive. C'est le corps des fonctions rationnelles d'une courbe projective lisse intègre sur un corps fini.

ExempleModifier

Soit   un corps. Le corps des fractions rationnelles à une variable   est un corps de fonctions sur  .

Corps des constantesModifier

Soit   un corps de fonctions. L'ensemble des éléments de   algébriques sur   est un corps, appelé corps des constantes.

Par exemple,   est un corps de fonctions sur  , son corps des constantes est  .

Valuations et placesModifier

Étant donné un corps de fonctions   d'une variable. On définit la notion d' anneau de valuation de  . C'est un sous anneau   de   qui contient  , mais distincts de ces deux corps, et tel que

 

Voir aussiModifier

Corps de fonctions (théorie des schémas) (en)