Tétraèdre équifacial

En géométrie, un tétraèdre équifacial, ou disphénoïde (du grec sphenoeides, « en forme de coin »), est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles isométriques. Une condition équivalente est que les arêtes opposées soient de même longueur.

Il a été signalé dans les Annales de Gergonne dès 1810, puis beaucoup étudié par les géomètres des XIXe et XXe siècles[1].

Le tétraèdre régulier est équifacial mais un tétraèdre équifacial peut avoir des arêtes de trois longueurs différentes.

Propriétés et caractérisationsModifier

Le tétraèdre équifacial est invariant par les trois demi-tours d'axes les bimédianes, qui sont aussi les bihauteurs, et concourent en un point O. Ce point est donc à la fois centre de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite, et centre de gravité des quatre sommets du tétraèdre [1].

 
Patron du tétraèdre équifacial.

Tous ses angles solides et les figures de sommet sont identiques, et la somme des mesures en degrés des angles des faces arrivant à chaque sommet est égale à 180°.

Les longueurs des six arêtes d'un tétraèdre équifacial   ont trois valeurs  , et les angles des faces, trois valeurs  , angles en   de la face  .

D'après l'inégalité triangulaire sur les angles arrivant à un même sommet,  , donc   : les angles des faces sont strictement aigus [2].

Son parallélépipède circonscrit  (dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées - voir ci-contre) est rectangle.

 
Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit.   a pour coordonnées barycentriques   dans  , et ainsi de suite.

Le carré de la longueur du côté   de ce parallélépipède, longueur qui est aussi celle de la bimédiane joignant   à   dans le tétraèdre, est   ; on obtient les autres par permutations [3]. Ceci confirme que les angles sont aigus.

L'un des deux patrons du tétraèdre équifacial est un triangle aigu d'angles   et de longueurs de côtés  , divisé en quatre triangles semblables par des segments reliant les milieux des côtés.

Un tétraèdre est équifacial si et seulement si [4],[5]:

Un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est équifacial, orthocentrique ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales [6],[7],[8].

Les tétraèdres équifaciaux sont les seuls polyèdres ayant une infinité de géodésiques fermées non auto-sécantes, et toutes les géodésiques fermées sont non auto-sécantes [9].

Formules métriquesModifier

La sphère circonscrite a pour rayon [10]

 

La sphère inscrite a pour rayon r donné par [10]

  avec  

  est le rayon des cercles circonscrits aux faces et   l'aire de n'importe quelle face, donnée par la formule de Héron.

La longueur commune des quatre hauteurs est égale à   [10].

Le volume d'un tétraèdre équifacial d'arêtes opposées de longueurs a, b, c est donné par [10]

 

On en déduit la relation intéressante suivante reliant le volume et le rayon de la sphère circonscrite :

 

Voir égalementModifier

RéférencesModifier

  1. a et b Victor Thébault, « Sur le tétraèdre dont les arêtes opposées sont deux à deux égales », L'Enseignement mathématique,‎ , p. 50-60 (lire en ligne)
  2. a et b Jean-Marc LÉVY-LEBLOND et Jean-Paul MARMORAT, « Tout tétraèdre équiaire est équifacial », Quadrature,‎ janvier-février-mars 2021 (lire en ligne  )
  3. Pierre Audibert, « Tétraèdres équifaciaux, ou disphénoïdes »
  4. a et b Em. Lemoine, « Quelques théorèmes sur les tétraèdres dont les arêtes opposées sont égales deux à deux, et solution de la question 1272 », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 19,‎ , p. 133-138 (lire en ligne)
  5. « concours général 1992 - exercice 3 »,
  6. E. Ehrhart, Articles de mathématiques : Sur les tétraèdres dont les perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont concourantes, Cedic/Nathan, , p. 75-76
  7. E. Ehrhart, « Sur le triangle et le tétraèdre », Bulletin de l'APMEP, no 381,‎ , p. 621 (lire en ligne)
  8. Bertrand Gambier, « Sur les tétraèdres dont certaines bihauteurs se rencontrent », Bulletin de la S. M. F., vol. 76,‎ , p. 79-94 (lire en ligne)
  9. (en) Dmitry, Ekaterina Fuchs, « Closed geodesics on regular polyhedra », Moscow Mathematical Journal, vol. 7 (2),‎ , p. 265–279 (lire en ligne  )
  10. a b c et d Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, , p. 330-336

Paul COUDERC, Augustin BALLICCIONI, Premier livre du tétraèdre à l'usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l'agrégation., Paris, Gauthier-Villars, , p. 137-175