Patron (géométrie)

figure géométrique plane représentant un solide développé

En géométrie, le patron (ou développement) d'une surface est une figure géométrique plane qui permet de reconstituer cette surface après des pliages (au niveau de certaines arêtes, les autres apparaissant par jonction des bords du patron) et parfois des torsions (lorsque le solide possède des faces non planes — mais forcément de courbure nulle). On dit que le solide est décomposé[réf. nécessaire].

Un patron du dodécaèdre régulier.

Alors que le patron de certaines surfaces est facile à tracer, d’autres, à la décomposition plus difficile, utilisent des principes complexes (figures qui n’ont pas de faces planes ou des faces complexes, tel le cas du cylindre, ou figures nécessitant tracés et calculs spéciaux tels que nécessaires pour remplir un cercle pour le transformer en disque ou pour une épaisseur spécifique) pour pouvoir fournir leur parfait état normal.

PolyèdresModifier

 
Les onze développements d'un cube.
 
Les deux développements d'un tétraèdre régulier.

Un polyèdre est un solide composé uniquement de faces planes polygonales (triangles, quadrilatèresetc.). On trouve parmi eux le cube, les parallélépipèdes (également connus sous le nom de « pavés »), les pyramides (possédant une base polygonale — quelle qu’elle soit), etc.

On considère en ces cas les patrons possibles comme étant une représentation des faces du solide jointes par leurs côtés (on exclut la jonction des faces par un point unique, qui deviendrait un sommet du solide).

Patron des parallélépipèdes
Les parallélépipèdes (rhomboèdres, parallélépipèdes rectangles, cubes…) sont composés de six faces parallèles deux à deux, pour douze arêtes et huit sommets. Ils possèdent onze patrons possibles, que l’on peut tracer par déformation des patrons d’un cube (parallélépipède particulier dont les faces sont carrées) ; six d’entre eux sont obtenus par un alignement de quatre carrés, de chaque côté duquel on place une face supplémentaire (formant une croix ou un « T », par exemple).
Patron des pyramides
Une pyramide possède une base polygonale, dont chaque sommet est lié par une arête à un point unique situé hors du plan de la base, l’apex. Elle possède donc une face de plus que sa base n’a de côtés, et seule la base n’est pas nécessairement triangulaire. Le patron le plus évident d’une pyramide ressemble à une étoile. Sa base polygonale forme le centre, et les autres faces (triangulaires) se déploient autour. D’autres patrons sont cependant possibles, il suffit d’attacher habilement les faces triangulaires suivant les arêtes partant de l’apex. Le tétraèdre régulier, qui peut être vu comme une pyramide à base triangulaire dont tous les côtés sont égaux, possède deux développements.

Avec faces non planesModifier

Il est possible de réaliser le patron d’un solide possédant une ou plusieurs faces non planes, à condition que celles-ci soient développables. Ainsi, il est possible de réaliser le patron d’un cône ou d’un cylindre à la différence du patron d'une sphère (sa courbure de Gauss n'est pas nulle). En ce cas, on accepte dans les patrons des points de jonction uniques entre deux faces, le plus couramment entre le développement d’une face courbe du solide et le bord arqué d’une face plane.

Cône de révolutionModifier

 
Le patron d'un cône

Le cône de révolution est composé :

  • d'une part d'une matrice à laquelle son aire est proportionnelle au périmètre et à l'aire usuelle de la base de celui-ci.
  • d'une autre la base, en forme de cercle.

Son patron est le résultat d'un triangle rectangle (pensez à une équerre) en rotation. Il n'y a donc qu'une seule base visible, car la pointe forme le seul sommet du cône. Son patron est composé en haut, d'une forme de croissant symbolisé par un point (appelons-le "S"), à laquelle deux segments sont alors tracés à sa droite et à sa gauche, inclinant légèrement vers le côté d'où ils partent. Les points alors tracés à la fin de l'inclinaison à droite et à gauche du point "S", sont reliés par un arc proportionnelle à l'aire usuelle de la base, formant donc notre "croissant". La base est un simple cercle. Il faut assembler la matrice perpendiculairement, dans le sens de la profondeur du cercle, et mettre ses plis sur la base.

Cylindre de révolutionModifier

 
Le patron d'un cylindre

Le cylindre de révolution est composé de deux bases qui sont des disques superposables, et d'une surface latérale qui, coupée, forme un rectangle.

Son patron est en fait le résultat d'un rectangle qui tourne sur lui-même, formant la surface latérale du cylindre. Le bord de ses deux bases est le résultat de cette rotation. Le patron donc ressemble au sigle "pourcentage". Il faut dessiner les disques ayant un périmètre égale à la longueur du rectangle. Il faut ensuite assembler les ronds vers le haut, et de plier son rectangle en deux (ils doivent former un récipient). Il faut assembler ensuite les bouts, de bas en haut, pour donner finalement un cylindre droit.

Utilisation pour la résolution de problèmes mathématiquesModifier

Un premier exempleModifier

 
Projection isométrique d'une solution naïve (1) et de la solution optimale (2) du problème de l'araignée et de la mouche.

En plus de permettre une construction facile des solides par pliage, découpage et collage, les patrons peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace en les transposant dans le plan. L'un des exemples les plus connus est le problème de l'araignée et de la mouche (en), imaginé par Henry Dudeney en 1903, dans lequel une araignée et une mouche sont posées sur deux faces d'un pavé droit et où la mouche doit atteindre l'araignée le plus vite possible. C'est un problème parfois utilisé dans l'enseignement des mathématiques au lycée[1].

Un exemple plus complexe sur les dodécaèdresModifier

 
Trajectoire rectiligne reliant le sommet d'un dodécaèdre à lui-même sans passer par aucun autre sommet.

La difficulté peut alors être de trouver lequel des différents patrons possibles d'un solide donné est pertinent pour résoudre le problème, voire parfois quelle juxtaposition de patron sera utile. Un exemple de cela est l'étude des géodésiques fermées sur le dodécaèdre régulier, où l'on se demande s'il est possible d'aller « en ligne droite » d'un sommet du dodécaèdre à lui-même sans passer par un autre sommet. L'inexistence de telles trajectoires était établie pour les quatre autres solides platoniciens depuis 1936 mais est restée ouverte pour le dodécaèdre jusqu'en 2019[2]. Il existe en fait 31 classes de telles géodésiques pour le dodécaèdre régulier[3],[4], la plus simple pouvant se représenter sur un patron bien choisi[5].

BibliographieModifier

Notes et référencesModifier

  1. IREM de Strasbourg, « La fourmi paresseuse », sur unistra.fr.
  2. (en) Jayadev S. Athreya, David Aulicina et al., « Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surface », Experimental Mathematics (en),‎ (DOI 10.1080/10586458.2020.1712564, arXiv 1811.04131).
  3. (en) [vidéo] Numberphile, A new discovery about dodecahedron sur YouTube.
  4. (en) [vidéo] Numberphile, Yellow Brick Road and Dodecahedron (extra) sur YouTube.
  5. (en) Jayadev S. Athreya et David Aulicina, « A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron », The American Mathematical Monthly,‎ (DOI 10.1080/00029890.2019.1538475, arXiv 1802.00811).

Voir aussiModifier

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