Inégalité triangulaire

Inégalité caractéristique des distances

En géométrie, l'inégalité triangulaire est le fait que, dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette inégalité est relativement intuitive. Dans la vie ordinaire, comme dans la géométrie euclidienne, cela se traduit par le fait que la ligne droite est le plus court chemin : le plus court chemin d'un point A à un point B est d'y aller tout droit, sans passer par un troisième point C qui ne serait pas sur la ligne droite.

Triangle.

De façon plus abstraite, cette inégalité correspond au fait que la distance directe est une valeur minimale de distance. Elle est aussi une propriété ou condition nécessaire à la définition d'une bonne distance. Cette distance est un choix possible en métrique mathématique, mais pas forcément le meilleur, suivant les cas et les usages.

ÉnoncésModifier

En géométrieModifier

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et BC vérifient les trois inégalités suivantes :

  •   ;
  •   ;
  •  .

La conjonction de ces trois inégalités équivaut à la double inégalité :  .

La première de ces dernières inégalités traduit que dans un triangle, la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres[1].

Le cas d'égalité dans la deuxième inégalité s'écrit :  .

Pour les nombres complexesModifier

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

  •  
  •  

On obtient cette formulation équivalente.

Pour  , on a :

  •   ;
  •  .

Généralisation aux espaces préhilbertiensModifier

Soit   un espace préhilbertien réel. On note   la norme associée au produit scalaire. Pour  , en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, on démontre alors[2] l'inégalité de Minkowski :

  •   ;
  •  .

(Tout espace préhilbertien complexe   est un espace préhilbertien réel, pour le produit scalaire  , qui induit la même norme que le produit hermitien  .)

Point de vue axiomatiqueModifier

Soient E un ensemble et  . On dit que d est une distance sur E si :

  •  
  •  
  •  

La troisième propriété demandée à   pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire. Jointe à la première, elle entraîne :

  •  

et plus généralement, pour toute partie non vide A de E,   (voir « Distance d'un point à une partie »).

Réciproquement,  .

Tout espace vectoriel normé   — en particulier   — est naturellement muni d'une distance  , définie par  , pour laquelle la majoration   se réécrit :

  •  .

NoteModifier

  1. Laurent Schwartz, Analyse. I, Théorie des ensembles et topologie, Hermann, (ISBN 978-2-7056-6161-8 et 2-7056-6161-1, OCLC 439120175, lire en ligne), p. 131
  2. Voir par exemple ce paragraphe de la leçon sur les espaces préhilbertiens réels sur Wikiversité.

Article connexeModifier

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