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Solide de Johnson

polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas isogonal

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas isogonal (qui n'est donc ni un solide de Platon, ni un solide d'Archimède, ni un prisme ni un antiprisme). Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J1) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

La gyrobicoupole octogonale allongée (J37), un solide de Johnson.
Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro).
Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas convexe.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être une face d'un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller (en) a démontré en 1969 que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note Jxx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J37) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms modifier

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

  • Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.
  • Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
  • Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.
  • Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
  • Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.
  • Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsqu'elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).

Liste et noms de Johnson modifier

S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F3 triangles,
F4 carrés,
F5 pentagones,
F6 hexagones,
F8 octogones,
F10 décagones.

Prismatoïdes et rotondes modifier

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
1 pyramide carrée   pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
2 pyramide pentagonale   pyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
3 coupole hexagonale   coupole 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
4 coupole octogonale   coupole 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
5 coupole décagonale   coupole 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
6 rotonde décagonale   rotonde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Pyramides modifiées et dipyramides modifier

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
7 pyramide triangulaire allongée   pyramide allongée (en) 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v
8 pyramide carrée allongée   pyramide allongée 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v
9 pyramide pentagonale allongée   pyramide allongée 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v
10 pyramide carrée gyroallongée   pyramide gyroallongée (en) 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v
11 pyramide pentagonale gyroallongée   pyramide gyroallongée 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v
12 diamant triangulaire   Bipyramide (ou diamant) 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h
13 diamant pentagonal   Bipyramide (ou diamant) 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h
14 diamant triangulaire allongé   Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h
15 diamant carré allongé   Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h
16 diamant pentagonal allongé   Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h
17 diamant carré gyroallongé   Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d

Coupoles et rotondes modifiées modifier

  • coupole allongée
  • rotonde allongée
  • birotonde allongée
  • coupole-rotonde allongée
  • bicoupole allongée
  • coupole gyroallongée
  • rotonde gyroallongée
  • bicoupole
  • birotonde
  • coupole-rotonde
  • bicoupole gyroallongée
  • birotonde gyroallongée
  • coupole-rotonde gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
18 coupole hexagonale allongée   coupole allongée 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 coupole octogonale allongée   coupole allongée 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 coupole décagonale allongée   coupole allongée 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 rotonde décagonale allongée   rotonde allongée 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 coupole hexagonale gyroallongée   coupole gyroallongée 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 coupole octogonale gyroallongée   coupole gyroallongée 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 coupole décagonale gyroallongée   coupole gyroallongée 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 rotonde décagonale gyroallongée   rotonde gyroallongée 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 gyrobiprisme triangulaire   bicoupole 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 orthobicoupole hexagonale   bicoupole 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 orthobicoupole octogonale   bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 gyrobicoupole octogonale   bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 orthobicoupole décagonale   bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 gyrobicoupole décagonale   bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 orthocoupole-rotonde décagonale   coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 gyrocoupole-rotonde décagonale   coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 orthobirotonde décagonale   birotonde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 C5v
35 orthobicoupole hexagonale allongée   bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 gyrobicoupole hexagonale allongée   bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 gyrobicoupole octogonale allongée   bicoupole allongée 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4h
38 orthobicoupole décagonale allongée   bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 gyrobicoupole décagonale allongée   bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5v
40 orthocoupole-rotonde décagonale allongée   coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 gyrocoupole-rotonde décagonale allongée   coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 orthobirotonde décagonale allongée   birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 gyrobirotonde décagonale allongée   birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5v
44 bicoupole hexagonale gyroallongée   bicoupole gyroallongée 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3v
45 bicoupole octogonale gyroallongée   bicoupole gyroallongée 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4v
46 bicoupole décagonale gyroallongée   bicoupole gyroallongée 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5v
47 coupole-rotonde décagonale gyroallongée   coupole-rotonde gyroallongée 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5v
48 birotonde décagonale gyroallongée   birotonde gyroallongée 40 90 52 40 0 12 0 0 0 C5v

Prismes augmentés modifier

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
49 prisme triangulaire augmenté   prisme augmenté 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C2v
50 prisme triangulaire biaugmenté   prisme augmenté 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C2v
51 prisme triangulaire triaugmenté   prisme augmenté 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D3h
52 prisme pentagonal augmenté   prisme augmenté 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C2v
53 prisme pentagonal biaugmenté   prisme augmenté 12 23 13 8 3 2 0 0 0 Cs
54 prisme hexagonal augmenté   prisme augmenté 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C2h
55 prisme hexagonal parabiaugmenté   prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D2h
56 prisme hexagonal métabiaugmenté   prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C2v
57 prisme hexagonal triaugmenté   prisme augmenté 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D3h

Solides de Platon modifiés modifier

  • Dodécaèdres augmentés
  • Icosaèdres diminués
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
58 dodécaèdre augmenté   dodécaèdre augmenté 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C5v
59 dodécaèdre parabiaugmenté   dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 D5v
60 dodécaèdre métabiaugmenté   dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C2v
61 dodécaèdre triaugmenté   dodécaèdre augmenté 23 45 24 15 0 9 0 0 0 C3v
62 icosaèdre métabidiminué   icosaèdre diminué 10 20 12 10 0 2 0 0 0 C2v
63 icosaèdre tridiminué   icosaèdre diminué 9 15 8 5 0 3 0 0 0 C3v
64 icosaèdre tridiminué augmenté   icosaèdre diminué 10 18 10 7 0 3 0 0 0 C3v

Solides d'Archimède modifiés modifier

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
65 tétraèdre tronqué augmenté   tétraèdre tronqué augmenté 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 cube tronqué augmenté   cube tronqué augmenté 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 cube tronqué biaugmenté   cube tronqué augmenté 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 dodécaèdre tronqué augmenté   dodécaèdre tronqué augmenté 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 dodécaèdre tronqué parabiaugmenté   dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5v
70 dodécaèdre tronqué métabiaugmenté   dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 dodécaèdre tronqué triaugmenté   dodécaèdre tronqué augmenté 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 gyro-rhombicosidodécaèdre   rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 parabigyro-rhombicosidodécaèdre   rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5v
74 métabigyro-rhombicosidodécaèdre   rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 trigyro-rhombicosidodécaèdre   rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 rhombicosidodécaèdre diminué   rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 rhombicosidodécaèdre parabidiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5v
81 rhombicosidodécaèdre métabidiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 Cs
83 rhombicosidodécaèdre tridiminué   rhombicosidodécaèdre diminué 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

Divers modifier

Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
84 Disphénoïde adouci   - 8 18 12 12 0 0 0 0 0 D2v
85 antiprisme carré adouci   - 16 40 26 24 2 0 0 0 0 D4v
86 sphéno-couronne   - 10 22 14 12 2 0 0 0 0 C2v
87 sphéno-couronne augmentée   - 11 26 17 16 1 0 0 0 0 Cs
88 sphénoméga-couronne   - 12 28 18 16 2 0 0 0 0 C2v
89 hébesphénoméga-couronne   - 14 33 21 18 3 0 0 0 0 C2v
90 disphéno-ceinture   - 16 38 24 20 4 0 0 0 0 D2v
91 birotonde bilunaire   - 14 26 14 8 2 4 0 0 0 D2h
92 hébesphéno-rotonde triangulaire   - 18 36 20 13 3 3 1 0 0 C3v

Références modifier

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Johnson solid » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Norman W. Johnson, « Convex Solids with Regular Faces », Canad. J. Math., vol. 18,‎ , p. 169–200 (DOI 10.4153/CJM-1966-021-8) — Contient l'énumération originale des 92 solides et la conjecture affirmant qu'il n'y en a pas d'autres.
  • (en) Victor A. Zalgaller, « Convex Polyhedra with Regular Faces », 1969 : première preuve de cette conjecture.
  • (en) Eric W. Weisstein, « Johnson Solid », sur MathWorld

Liens externes modifier

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