Suite du traiteur paresseux

La suite du traiteur paresseux, en anglais the lazy caterer's sequence, est une suite donnant le nombre maximum de morceaux d'un disque (une crêpe ou une pizza est généralement utilisée pour décrire la situation) qui peut être obtenu avec un certain nombre de coupes droites. Par exemple, trois coupes à travers une crêpe produiront six morceaux si les traits de coupe se rencontrent en un même point intérieur au disque, mais jusqu'à sept dans le cas contraire.

Crêpe découpé en sept morceaux avec trois coupes droites.

Les nombres obtenus sont appelés des nombres pizza ou des nombres tarte.

La généralisation de cette suite en dimension trois est la suite des nombres gâteaux.

Formules

Le nombre maximal $u_{n}$ de morceaux qui peuvent être obtenus avec un nombre $n\geqslant 0$ de coupes est donné par la formule :

$u_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}+1={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.$

Animation montrant le nombre de régions découpées pour n allant jusqu'à 6

Chaque terme est donc égal à un nombre triangulaire plus 1.

Cette suite (suite A000124 de l'OEIS), en commençant à $n=0$, donne les nombres suivants

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

À l'aide des coefficients binomiaux, la formule s'écrit aussi

$u_{n}=1+{\tbinom {n+1}{2}}={\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}.$

$u_{n}$ est donc égal à $B_{n,2}$, coefficient de la colonne d'indice 2 du triangle de Bernoulli.

Démonstration

Lorsqu'il y a $n-1$ découpes, une nouvelle droite rencontre chacune des $n-1$ droites en un point au maximum, coupe donc $n$ anciennes régions en deux au maximum ; elle crée donc au maximum $n$ nouvelle régions. On en déduit $u_{n}=u_{n-1}+n=\cdots =u_{0}+1+\cdots +n=1+{\frac {n(n+1)}{2}}$.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lazy caterer's sequence » (voir la liste des auteurs).
• (en) T. L. Moore, « Using Euler's formula to solve plane separation problems », The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 22, n^o 2,‎ 1991, p. 125–130 (DOI 10.2307/2686448, JSTOR 2686448).
• (en) J. Steiner, « Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space") », J. Reine Angew. Math., vol. 1,‎ 1826, p. 349–364.
• (en) J. E. Wetzel, « On the division of the plane by lines », American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 85, n^o 8,‎ 1978, p. 647–656 (DOI 10.2307/2320333, JSTOR 2320333, lire en ligne).

Articles connexes

• Nombre polygonal centré

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Circle Division by Lines », sur MathWorld