Nombre polygonal centré
Ne doit pas être confondu avec Nombre polygonal.
En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre constant de côtés. Chaque côté d'une couche polygonale contient un point de plus que chaque côté de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, la première couche contient k points et à partir de la deuxième, chaque couche contient k points de plus que la précédente.
Relation de récurrence, gnomon, 1 + somme de gnomonsModifier
Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième k-gone centré a un point central et n – 1 couches k-gonales régulières.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième k-gone centré comporte k(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième k-gone centré, et faisant passer au n-ième :
Ainsi, le n-ième k-gone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.
Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal centré égale[1] donc 1 plus la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison k :
Relation avec les nombres triangulairesModifier
On déduit de l'expression ci-dessus que pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal centré égale 1 plus k fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire :
Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonalModifier
Pour tout entier k ≥ 3, le premier et le k-ième nombres k-gonaux centrés sont aussi k-gonaux :
Exemples :
- avec k = 3 : le nombre C3,3 = 10 = P3,4 est à la fois triangulaire centré et triangulaire régulier ;
- avec k = 4 : le nombre C4,4 = 25 = P4,5 est à la fois carré centré et carré parfait.
Nombre polygonal centré premierModifier
Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre octogonal centré est :
voir la suite A016754 de l'OEIS[2].
Conséquence : C8,n ne peut pas être premier.
Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre ennéagonal centré est :
voir la suite A060544 de l'OEIS[3].
Conséquence : C9,n ne peut pas être premier.
Pour tout entier k ≥ 3, (k ≠ 8, k ≠ 9), le 2-ième nombre k-gonal centré, Ck,2 = 1 + k, peut évidemment être premier.
En outre, il existe des nombres k-gonaux centrés (k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9) premiers de rang n ≥ 3 (contrairement aux nombres k-gonaux).
Exemples : en gras dans les listes suivantes.
Listes de nombres polygonaux centrésModifier
Nom, notation Ck,n | Expression | Les dix plus petits nombres | Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS |
---|---|---|---|
Nombres triangulaires centrés, C3,n | 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136 | A005448 et A125602 | |
Nombres carrés centrés, C4,n | 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 | A001844 et A027862 | |
Nombres pentagonaux centrés, C5,n | 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226 | A005891 et A145838 | |
Nombres hexagonaux centrés, C6,n | 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271 | A003215 et A002407 | |
Nombres heptagonaux centrés, C7,n | 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316 | A069099 et A144974 | |
Nombres octogonaux centrés, C8,n | 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 | A016754 | |
Nombres ennéagonaux centrés, C9,n | 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406 | A060544 | |
Nombres décagonaux centrés, C10,n | 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451 | A062786 et A090562 | |
Nombres undécagonaux centrés, C11,n | 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496 | A069125 et A262344 | |
Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, C12,n | 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541 | A003154[4] et A083577 |
Notes et référencesModifier
- (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, (lire en ligne), p. 49.
- intitulée « Odd squares: a(n) = (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers. »
Attention : l'indexation de cette suite A016754 de l'OEIS commence avec a(0) = 1, au lieu de a(1) = 1. - intitulée « Centered 9-gonal (also known as nonagonal or enneagonal) numbers. Every third triangular number, starting with a(1) = 1. »
- intitulée « Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1. »