Nombre polygonal centré

En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre constant de côtés. Chaque côté d'une couche polygonale contient un point de plus que chaque côté de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre $k$ -gonal centré, la première couche contient $k$ points et à partir de la deuxième, chaque couche contient $k$ points de plus que la précédente.

Relation de récurrence, gnomon, 1 + somme de gnomonsModifier

Pour tous entiers $k$ ≥ 3 et $n$ ≥ 1, le $n$ -ième $k$ -gone centré a un point central et $n$ – 1 couches $k$ -gonales régulières.
Pour tout entier $n$ ≥ 2, la dernière couche du $n$ -ième $k$ -gone centré comporte $k$ ( $n$ – 1) points ; c'est le gnomon associé au ( $n$ – 1)-ième $k$ -gone centré, et faisant passer au $n$ -ième :

\forall \ n\geq 2,\ C_{k,n}=C_{k,n-1}+k(n-1).

Ainsi, le $n$ -ième $k$ -gone centré comporte $n$ points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tous entiers $k$ ≥ 3 et $n$ ≥ 1, le $n$ -ième nombre $k$ -gonal centré égale^[1] donc 1 plus la somme des $n$ premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison $k$ :

C_{k,n}=1+\sum _{i=0}^{n-1}ik=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}.

Relation avec les nombres triangulairesModifier

On déduit de l'expression ci-dessus que pour tous entiers $k$ ≥ 3 et $n$ ≥ 1, le $n$ -ième nombre $k$ -gonal centré égale 1 plus $k$ fois le ( $n$ – 1)-ième nombre triangulaire :

C_{k,n}=1+kT_{n-1}.

Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonalModifier

Pour tout entier $k$ ≥ 3, le premier et le $k$ -ième nombres $k$ -gonaux centrés sont aussi $k$ -gonaux :

C_{k,1}=1=P_{k,1}\quad {\text{et}}\quad C_{k,k}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=P_{k,k+1}.

Exemples :

avec $k$ = 3 : le nombre $C 3,3$ = 10 = $P 3,4$ est à la fois triangulaire centré et triangulaire régulier ;
avec $k$ = 4 : le nombre $C 4,4$ = 25 = $P 4,5$ est à la fois carré centré et carré parfait.

Nombre polygonal centré premierModifier

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Pour tout entier $n$ ≥ 1, le $n$ -ième nombre octogonal centré est :

C_{8,n}=1+{8n(n-1) \over 2}=4n^{2}-4n+1=(2n-1)^{\color {red}2}\ ;

voir la suite A016754 de l'OEIS^[2].

Conséquence : $C 8, n$ ne peut pas être premier.

Pour tout entier $n$ ≥ 1, le $n$ -ième nombre ennéagonal centré est :

C_{9,n}=1+{9n(n-1) \over 2}={{9n^{2}-9n+2} \over 2}={(3n-1){\color {red}{\text{×}}}(3n-2) \over 2}=T_{3n-2}\neq 3\ ;

voir la suite A060544 de l'OEIS^[3].

Conséquence : $C 9, n$ ne peut pas être premier.

Pour tout entier $k$ ≥ 3, ( $k$ ≠ 8, $k$ ≠ 9), le 2-ième nombre $k$ -gonal centré, $C k,2$ = 1 + $k$ , peut évidemment être premier.

En outre, il existe des nombres $k$ -gonaux centrés ( $k$ ≥ 3, $k$ ≠ 8, $k$ ≠ 9) premiers de rang $n$ ≥ 3 (contrairement aux nombres $k$ -gonaux).

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

Listes de nombres polygonaux centrésModifier

Nombres polygonaux centrés (nombres polygonaux centrés premiers : en gras)
Nom, notation $C k,n$	Expression	Les dix plus petits nombres	Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS
Nombres triangulaires centrés, $C 3, n$	$1+{\frac {3n(n-1)}{2}}$	1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136	A005448 et A125602
Nombres carrés centrés, $C 4, n$	$1+2n(n-1)$	1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181	A001844 et A027862
Nombres pentagonaux centrés, $C 5, n$	$1+{\frac {5n(n-1)}{2}}$	1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226	A005891 et A145838
Nombres hexagonaux centrés, $C 6, n$	$1+3n(n-1)$	1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271	A003215 et A002407
Nombres heptagonaux centrés, $C 7, n$	$1+{\frac {7n(n-1)}{2}}$	1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316	A069099 et A144974
Nombres octogonaux centrés, $C 8, n$	$(2n-1)^{2}$	1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361	A016754
Nombres ennéagonaux centrés, $C 9, n$	${\frac {(3n-1)(3n-2)}{2}}$	1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406	A060544
Nombres décagonaux centrés, $C 10, n$	$1+5n(n-1)$	1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451	A062786 et A090562
Nombres undécagonaux centrés, $C 11, n$	$1+{\frac {11n(n-1)}{2}}$	1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496	A069125 et A262344
Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, $C 12, n$	$1+6n(n-1)$	1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541	A003154^[4] et A083577

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered polygonal number » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, 2012 (lire en ligne), p. 49.
↑ intitulée « Odd squares: a(n) = (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers. »
Attention : l'indexation de cette suite A016754 de l'OEIS commence avec a(0) = 1, au lieu de a(1) = 1.
↑ intitulée « Centered 9-gonal (also known as nonagonal or enneagonal) numbers. Every third triangular number, starting with a(1) = 1. »
↑ intitulée « Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1. »

Voir aussiModifier

Lazy caterer's sequence

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Nombre polygonal centré, sur Wikimedia Commons

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, 2012 (lire en ligne), p. 49.

[2] titulée « Odd squares: a(n) = (2n+1)^2. Also centered octagonal numbers. »
Attention : l'indexation de cette suite A016754 de l'OEIS commence avec a(0) = 1, au lieu de a(1) = 1.

[3] titulée « Centered 9-gonal (also known as nonagonal or enneagonal) numbers. Every third triangular number, starting with a(1) = 1. »

[4] titulée « Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1. »

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