Application bilinéaire

En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

DéfinitionModifier

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :

 

Si G = K, on parle de forme bilinéaire.

ExempleModifier

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

 .

GénéralisationModifier

Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule. Cela signifie que G est un A-module à gauche et un B-module à droite, avec la relation de compatibilité :

 .

Soit alors φ : E×F → G une application. Comme plus haut, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables. Cela se traduit par :

 

Ceci est bien entendu valide lorsque A = B est un corps non commutatif K, E est un K-espace vectoriel à gauche, F est un K-espace vectoriel à droite, et G est un espace vectoriel à gauche et à droite avec la relation de compatibilité ci-dessus.

ExemplesModifier

Sur un espace vectoriel, les produits scalaires et produits vectoriels sont des applications bilinéaires.

BibliographieModifier

N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 9 : Formes Sesquilinéaires et formes quadratiques, Springer, , 208 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, lire en ligne)