Produit tensoriel d'algèbres

En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre.

DéfinitionModifier

Soit   un anneau commutatif. Soient   deux  -algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de  -algèbres est donnée par deux morphismes

  et  .

On peut les considérer comme des  -modules et construire le produit tensoriel  . Lorsque   et   commutent à  , c'est-à-dire lorsque pour tout  , on a   et  , on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle

 .

pour tous   et  . La structure de  -module plus cette loi de composition interne fait de   une  -algèbre.

Il existe des homomorphismes de  -algèbres canoniques  ,   définis respectivement par   et  .

Ce produit tensoriel possède de plus une structure de  -algèbre à gauche lorsque   est commutatif, et une structure de  -algèbre à droite lorsque   est commutatif.


Exemples:

  • Produit tensoriel d'algèbres de matrices
  • Produit tensoriel d'algèbres centrales simples
  •  .

Propriété universelleModifier

Lorsque   et   sont commutatifs, le produit tensoriel   est leur somme catégorielle dans la catégorie des  -algèbres commutatives:

Si   et   sont des homomorphismes de  -algèbres commutatives, alors il existe un unique homomorphisme de  -algèbres   tel que   et   pour tous  .

En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.

RéférencesModifier

(en) Serge Lang, Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.