Polynôme de Bateman

En mathématiques, les polynômes de Bateman constituent une famille de polynômes remarquables, étudiée par le mathématicien anglais Harry Bateman. Initialement introduits en rapport avec l'étude des fonctions hypergéométriques, ces polynômes constituent une famille orthogonale et à ce titre sont liés à d'autres familles telles les polynômes de Legendre, de Jacobi, de Bernstein, etc. Il apparaissent naturellement dans plusieurs contextes, tels que l'étude des solutions des équations aux dérivées partielles dans des contextes symétriques.

Définition

Bateman définit initialement les polynômes $F_{n}$ en termes de la fonction hypergéométrique et d'une série génératrice :

$$(1-t)^{z}F\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}},1;t^{2}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)$$

Une définition équivalente à partir de la fonction hypergéométrique généralisée est :

$$F_{n}(z)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(z+1)\\1,~1\end{array}};1\right)$$

Bateman montre également que ces polynômes satisfont à une relation de récurrence : $(n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z)$, avec $F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z$. En particulier, cette relation établit que le degré de $F_{n}$est exactement $n$.

Relations aux autres familles et généralisation

Carlitz a montré qu'à un changement de variable près, les polynômes de Bateman coïncident avec les polynômes de Touchard :

$$Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)$$

Une caractérisation des polynômes de Bateman à partir des polynômes de Legendre $P_{n}$ et des fonctions hyperboliques est donnée par la relation :

$$F_{n}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x))$$

où on interprète le membre de gauche comme un opérateur pseudo-différentiel. Cette dernière écriture se prête naturellement à une généralisation, due à Pasternack, à savoir :

$$F_{n}^{(m)}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))$$

qui possède également une écriture à partir de la fonction hypergéométrique généralisée, pour tout $m\in \mathbb {C} \setminus \{-1\}$, une relation de récurrence analogue à $F_{n}$, et qui forme encore une famille orthogonale.

Enfin, les polynômes de Bateman peuvent être exprimés en fonction des polynômes de Hahn $p_{n}$(ou des polynômes de Wilson, qui les généralisent) après changement de variable, précisément $p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=\mathrm {i} ^{n}n!F_{n}\left(2\mathrm {i} x\right)$.

Propriétés remarquables

Les polynômes de Bateman forment une famille orthogonale, pour le produit scalaire défini ainsi :

$$\langle F_{n},F_{m}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(\mathrm {i} x)F_{n}(\mathrm {i} x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{m,n}$$

où $\delta _{m,n}$est la fonction de Kronecker. En particulier, il ne s'agit pas de polynômes orthonormés, mais on peut poser $B_{n}(z)=2\mathrm {i} ^{n}F_{n}(\mathrm {i} z)/{\sqrt {\pi (2n+1)}}$qui vérifient $\langle B_{n},B_{m}\rangle =\delta _{m,n}$, les « polynômes de Bateman normalisés ».

Premiers polynômes de la famille

On obtient les premiers polynômes de la famille en itérant la relation de récurrence, à partir des deux premières valeurs $F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z$. Ainsi :

${\begin{aligned}F_{2}(x)&={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}\\F_{3}(x)&=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}\\F_{4}(x)&={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}\\F_{5}(x)&={-{\frac {407}{960}}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}\end{aligned}}$

Notes et références