Nombre palindrome

entier dont la suite des chiffres est identique de gauche à droite ou de droite à gauche

Un nombre palindrome en base b est un nombre (entier) dont l'écriture dans cette base est un palindrome, c'est-à-dire qu'elle se lit de la même façon de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche. Quand la base n'est pas précisée, il s'agit de l'écriture décimale usuelle. Ainsi, 1, 11, 272 ou 9669 sont des nombres palindromes.

Palindromes en base dixModifier

Tous les nombres en base dix d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 104. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 105 et pour les autres exposants de 10n, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999,... (suite A070199 de l'OEIS). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n naturel 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n pair 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n impair 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n carré parfait 4 7 14 15 20 31
n premier 4 5 20 113 781 5953
n sans carré 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 + +
n avec carré (μ(n)=0) 3 6 41 78 423 + + + + +
n carré avec racine première 2 3 5
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1) 2 6 35 56 324 + + + + +
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1) 5 7 33 65 352 + + + + +
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 1 2 9 21 100 + + + + +
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers 0 1 12 37 204 + + + + +
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 0 0 4 24 139 + + + + +
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 1 2 11 15 98 + + + + +
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 1 4 24 41 226 + + + + +
n impair avec exactement deux facteurs premiers 1 4 25 39 205 + + + + +
n pair avec exactement deux facteurs premiers 2 3 11 64 + + + + +
n pair avec exactement trois facteurs premiers 1 3 14 24 122 + + + + +
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers 0 1 12 34 173 + + + + +
n nombre de Carmichael 0 0 0 0 0 1+ + + + +
n pour lequel σ(n) est palindrome 6 10 47 114 688 + + + + +

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes[Information douteuse] « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade était le nom de la femme qui contait, dans Les Mille et Une Nuits.

Des additions ayant un palindrome pour résultatModifier

Prenez un nombre au hasard. Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome. Autre exemple : 149 + 941 = 1090 ; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

On ne connait pas, bien que l'on en soupçonne l'existence, de nombres pour lesquels ce processus d'addition par le nombre symétrique ne donnerait pas de palindrome. De tels nombres sont appelés nombres de Lychrel.

Des multiplications ayant un palindrome pour résultatModifier

12 multiplié par 21 donne 252.

111 111 111 multiplié par 111 111 111 donne 12 345 678 987 654 321.

PropriétéModifier

Les nombres palindromes de taille paire sont multiples de 11 (voir Liste de critères de divisibilité#Critère de divisibilité par 11).

Définition formelleModifier

Bien que les nombres palindromes soient le plus souvent représentés dans le système décimal, le concept de palindromicité peut être appliqué aux entiers naturels dans n'importe quel système de numération. Considérons un nombre n > 0 en base b ≥ 2, où il est écrit en notation standard avec k+1 chiffres tel que :

 

avec 0 ≤ ai < b pour tout i et ak ≠ 0. Alors n est un nombre palindrome si et seulement si ai = aki pour tout i.

Bases autres que dixModifier

Les nombres palindromes binaires sont :

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

ou en décimal : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … suite A006995 de l'OEIS. Tous les nombres de Fermat et de Mersenne sont des nombres palindromes binaires.

En base dix-huit, certaines puissances de 7 sont palindromes :

70 = 1
71 = 7
73 = 111
74 = 777
76 = 12321
79 = 1367631

Et dans la base vingt-quatre, les huit premières puissances de 5 sont palindromes :

50 = 1
51 = 5
52 = 11
53 = 55
54 = 121
55 = 5A5
56 = 1331
57 = 5FF5
58 = 14641
5A = 15AA51
5C = 16FLF61

Nombres palindromes dans plusieurs basesModifier

Tout nombre n est palindrome dans toutes les bases b avec bn + 1 (car n est alors un nombre à un seul chiffre), mais aussi dans la base n – 1 (car n est alors 11n – 1).

La plupart des nombres sont palindromes dans plusieurs bases inférieures au nombre lui-même ; par exemple :  ,  .

6643 est le plus petit nombre à la fois palindrome en base 2 et en base 3[1].

Un nombre non palindrome dans toutes les bases 2 ≤ b < n – 1 est appelé un nombre strictement non palindrome.

Propriétés des nombres palindromesModifier

  • La série des inverses des nombres palindromes non nuls est convergente quelle que soit la base[2], vers 3,37028… si la base est dix (suite A118031 de l'OEIS).
  • Pour toute base de numération supérieure ou égale à 5, tout entier est somme d'au plus 3 nombres palindromes, cette borne est optimale car il existe pour toute base supérieure ou égale à 2 une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux nombres palindromes (en base dix, c'est par exemple le cas de 21)[1].

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palindromic number » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b Jean-Paul Delahaye, « 121, 404 et autres nombres palindromes », Pour la science, no 480,‎ , p. 80-85 (lire en ligne).
  2. Jeffrey Shallit (prop.) et H. Klauser (sol.), « Elementary problems and solutions — B441. Sum of base-b palindrome reciprocals », Fibonacci Quarterly, vol. 19,‎ , p. 469 (lire en ligne).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

Les nombres palindromes, par Michel Hort