Répunit

entier naturel dont l'écriture en base dix ne comporte que des chiffres 1

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est la francisation de l'anglais repunit, contraction de l'expression repeated unit (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler[1].

En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique[2] », « multi-as[3] », ou « répun[4] » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

DéfinitionModifier

Les répunits en base dix sont définis par :

 

Plus généralement, ils sont donnés en base b, par :

 

Ainsi, le nombre R(b)
n
s'écrit comme la juxtaposition de n chiffres 1.

HistoireModifier

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base 10 ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du XIXe siècle, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique[5].

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période du développement décimal de 1/p est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par p. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à 60 000 ont été publiés en 1860, et ont permis la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R16 et plus. En 1880, même R17 à R36 ont été factorisés[5] et il est curieux de constater que, bien que Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions n'avait une période égale à dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative en vue de tester ceci jusqu'au début du XXe siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R19 est premier[6] et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment prouvé la primalité de R23 en 1929. Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham a documenté entre autres les factorisations des répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

ExemplesModifier

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (suite A002275 de l'OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne Mn = 2n – 1.

PropriétésModifier

  • Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
  • Les répunits en base b forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : R(b)
    n
    = Un(b + 1, b)
    .
  • Par conséquent[7], leur PGCD suit la règle de divisibilité forte :  .En particulier, R(b)
    n
    est divisible par R(b)
    m
    si et seulement si n est divisible par m.

Décomposition des répunits décimauxModifier

Les facteurs premiers colorés en rouge sont des "nouveaux facteurs", divisant   mais ne divisant pas   pour tout   ; suite A102380 de l'OEIS[8].

R1 = 1
R2 = 11
R3 = 3 · 37
R4 = 11 · 101
R5 = 41 · 271
R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37
R7 = 239 · 4649
R8 = 11 · 73 · 101 · 137
R9 = 32 · 37 · 333667
R10 = 11 · 41 · 271 · 9091
R11 = 21649 · 513239
R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R13 = 53 · 79 · 265371653
R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091
R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 = 2071723 · 5363222357
R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R19 = 1111111111111111111
R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R23 = 11111111111111111111111
R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Répunits premiersModifier

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2[9], 3, 5, 6, 7, 10[10],[11], 11 et 12.

D'après la dernière propriété ci-dessus, R(b)
n
n'est premier que si n est premier. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple en base dix :

3 est premier mais R3 = 111 = 3 × 37 est composé[12].

Cependant, R(2)
3
= 7 est premier. R(b)
3
est également premier pour b égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la suite suite A002384 de l'OEIS ; l'écriture en base dix de R(111)
3
est 12 433.

Les répunits premiers sont assez rares (la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres ; voir théorème des nombres premiers). On conjecture cependant qu'il en existe une infinité[13].

Ce qu'il faut noter, par rapport au petit théorème de Fermat, lorsque p est premier : p divise R(b)
p
– 1
donc bR(b)
p
– 1
– 1
est divisible par R(b)
p
.   lorsque p est premier.

En base dix, on sait que Rn est premier pour onze valeurs de n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (suite A004023 de l'OEIS). Les six plus grands répunits en base 10 premiers connus en 2022 sont R49 081, R86 453, R109 297, R270 343, R5 794 777 et R8 177 207 ; ce sont des nombres premiers probables[13],[14].

La liste des nombres premiers qui sont des repunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme suite A085104 de l'OEIS.

Tout répunit premier est trivialement premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base 10, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais ce fait n'est pas démontré dans sa généralité [13].

Si n et b sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits R(b)
1
, … , R(b)
n
est un multiple de n.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers : The Queen of Mathematics Entertains, Dover Publications, (1re éd. 1964), 349 p. (ISBN 978-0-486-21096-4, lire en ligne), chap. 11.
  2. « Corrigé d'une épreuve du concours ISE de 2006 ».
  3. J. Moreau de Saint-Martin (multi-as proposé à la suite de M. D. Indjoudjian, dans la revue La Jaune et la Rouge), « À la recherche des multi-as carrés », Quadrature, no 26,‎ , p. 25-27.
  4. Richard Choulet, « Quelques remarques sur les répuns », Bulletin de l'APMEP, no 464,‎ , p. 407-412 (lire en ligne).
  5. a et b (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, 1999, p. 164-167.
  6. (en) Richard L. Francis, « Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers », The College Mathematics Journal (en), vol. 19, no 3,‎ , p. 240-246.
  7. Mais pour un raisonnement direct, voir par exemple le devoir sur Wikiversité (lien en bas de page).
  8. Pour plus d'informations, voir (en) « Factorization of 11...11 (Repunit) », sur Studio Kamada 日本語に.
  9. (en) « Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200 », sur cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun.
  10. (en) Yousuke Koide, « Factorizations of Repunit Numbers », .
  11. (en) « Repunits and their prime factors », sur worldofnumbers.com.
  12. Explications complémentaires dans (en) Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell.
  13. a b et c Jean-Paul Delahaye, « Des nombres premiers robustes ou délicats », Pour la Science, no 526,‎ , p. 80-85 (lire en ligne).
  14. (en) « Repunit », sur primes.utm.edu/top20.

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Ce livre contient de nombreux algorithmes écrits en Ruby, en particulier des tests de primalité pour les répunits

Liens externesModifier