Densité asymptotique

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, la densité asymptotique (ou densité naturelle, ou densité arithmétique) est une façon de mesurer la « taille » de certains sous-ensembles d'entiers naturels. La densité d'un ensemble A peut être vue comme une approximation de la probabilité qu'un entier tiré au hasard dans un intervalle arbitrairement grand appartienne à A ; son étude fait partie de la théorie analytique des nombres.

ContexteModifier

Il n'existe pas de probabilité uniforme sur l'ensemble   des entiers naturels, car si chaque singleton avait la même probabilité p, d'après l'axiome d'additivité, l'ensemble   aurait une probabilité infinie si p > 0, et nulle si p = 0 [1].

On montre même qu'il n'existe pas de probabilité sur   vérifiant la propriété évidente intuitivement que la "probabilité" de l'ensemble des multiples d'un entier strictement positif a soit égale à 1/a[2] (il y a une chance sur a qu'un entier soit multiple de a).

Par contre, il existe une probabilité uniforme sur tous les ensembles  , ce qui motive les définitions suivantes.

DéfinitionsModifier

Un ensemble A d'entiers naturels est de densité asymptotique   (où   ) si la proportion des éléments de A parmi les entiers de 1 à n se rapproche asymptotiquement de   quand n tend vers l'infini. Formellement, notant   le nombre d'éléments de A entre 1 et n, la densité asymptotique de A, D(A), est définie par[3]

  (si cette limite existe).

Condition nécessaire et suffisanteModifier

Si A est fini, A est de densité nulle.

Si A est infini, soit   la suite strictement croissante de ses éléments non nuls.

Alors :

- si  , A est de densité nulle.

- si  , A est de densité   ssi  .

Densités inférieure et supérieureModifier

Avec les mêmes notations, on définit la densité supérieure asymptotique (ou simplement la densité supérieure) de A, d(A), par

 ,

où lim sup est la limite supérieure.

De même, la densité inférieure de A, d(A), est définie par

 , où lim inf est la limite inférieure.

A a une densité asymptotique si et seulement si les densités inférieure et supérieure coïncident, et alors  .

Propriété d'additivité finieModifier

La densité asymptotique ne vérifie pas la propriété d'additivité dénombrable, mais elle vérifie celle d’additivité finie.

Soient A et B deux sous-ensembles de   ;

S'ils sont disjoints et ont chacun une densité, alors   a aussi une densité, et  .

Plus généralement :

Si trois des quatre ensembles   ont une densité, alors le quatrième aussi, et  .

Ceci vient de ce que  .

On en déduit que si la densité existe pour A, elle existe aussi pour le complémentaire cA de A dans  , et que l'on a  .

ExemplesModifier

  •  .
  • Les sous-ensembles finis sont de densité nulle.
  • L'ensemble   des carrés parfaits est de densité nulle car   (ou car   ).
  • Il en est de même de l'ensemble   des nombres premiers car   ( ou car   ) ; démonstration utilisant le théorème des nombres premiers, pour une démonstration élémentaire, voir ci-dessous.
  • Les ensembles   des nombres pairs et   des nombres impairs ont pour densité 1/2.
  • Plus généralement, l'ensemble des valeurs d'une suite arithmétique entière , a pour densité l'inverse de sa raison, soit 1/a.
  • Si a est un réel  , l'ensemble des parties entières   a pour densité 1/a.
  • L'ensemble des entiers sans facteur carré a pour densité   (voir Théorème de Cesàro).
  • L'ensemble des nombres abondants possède une densité[5], comprise entre 0,2474 et 0,2480[6].
  • L'ensemble   (intervalles d'entiers) des nombres dont l'écriture en base b contient un nombre impair de chiffres est un exemple d'ensemble sans densité asymptotique ; il est en effet de densité inférieure   et de densité supérieure   .

Cet ensemble possède cependant une densité logarithmique (voir ci-dessous) égale à 1/2 (en effet,  , et il y a essentiellement n termes de cette forme à sommer).

 
Courbe des fréquences entre 1 et n du premier chiffre 1 (en rouge ) et celle du premier chiffre 9 (en bleu) pour n de 1 à 10 000, en échelle logarithmique. Oscillation entre 1/9 et 5/9, pour le chiffre 1, entre 1/81 et 1/9 pour le chiffre 9.
  • Les ensembles   (différence symétrique de l'ensemble précédent avec   ) et   fournissent un exemple de deux ensembles ayant une densité dont ni l'intersection, ni la réunion, ni les deux différences n'ont de densité [7].
  • Un autre exemple d'ensemble sans densité est l'ensemble   des nombres dont l'écriture en base b commence par le chiffre c ( ).

Il est en effet de densité inférieure   et de densité supérieure   (1/9 et 5/9 par exemple pour le chiffre 1 en base 10).

Cet ensemble possède cependant une densité logarithmique (voir ci-dessous) égale à  , autrement dit l'ensemble des entiers vérifie une loi de Benford logarithmique.

  • Si   est une suite équirépartie dans [0, 1] et si   est la famille d'ensembles alors, par définition, d(Ax) = x pour tout x.

Autres définitionsModifier

Densité de BanachModifier

Une notion de densité un peu plus faible est celle de densité de Banach ; étant donné  , elle est définie par

 .

Densité de SchnirelmannModifier

La densité de Schnirelmann de   est définie comme la borne inférieure de la suite   ; bien qu'elle soit très sensible aux petits entiers de A (elle est par exemple nulle si A ne contient pas 1 puisqu'alors   ), elle possède des propriétés intéressantes qui la rendent plus utile que la densité asymptotique en théorie additive des nombres.

Densité logarithmiqueModifier

Des ensembles plus irréguliers peuvent être mesurés par leur densité logarithmique, définie par   : on attribue le poids 1/k à l'entier k [1].

Cette densité se confond avec la densité asymptotique lorsque celle-ci existe[8], et on a vu ci-dessus des exemples d'ensembles sans densité asymptotique ayant cependant une densité logarithmique. On peut ainsi considérer qu'il s'agit d'un procédé analogue aux transformations permettant de calculer la somme d'une série divergente.

ExempleModifier

Toute partie A telle que la série harmonique lacunaire   converge a une densité logarithmique nulle. C'est le cas par exemple des ensembles de Kempner obtenus en ne conservant que les entiers ne comportant pas une séquence de chiffres donnée dans une certaine base.

La réciproque est fausse comme en témoigne l'ensemble des nombres premiers qui a une densité naturelle, donc logarithmique, nulle, et dont la série des inverses ne converge pas.

Densité zêtaModifier

Pour tout réel  , on définit  , ce qu'il serait impossible d'écrire pour s=1 à cause de la divergence de la série harmonique.

La densité zêta (du nom de la fonction zêta  ) est alors définie par  . Elle coïncide en fait avec la densité logarithmique[1],[3].

Densité relative et densité analytiqueModifier

Particulièrement dans l'étude d'ensembles de nombres premiers[9], on est amené à définir la densité naturelle relative de A (inclus dans  ) comme la limite (quand n tend vers l'infini) du quotient (nombre d'éléments de An) / (nombre d'éléments de  n). Dans sa démonstration du théorème de la progression arithmétique, Dirichlet a défini une densité plus précise, la densité analytique de A, par la formule :

 

(laquelle se confond avec la densité naturelle lorsque cette dernière existe).

Exemple numériqueModifier

Désignant par   le nombre premier de rang k, on déduit du fait que la densité des multiples de a vaut 1/a, le tableau suivant :

Ce tableau se lit comme suit : la ligne pour k=2 montre qu'en termes presque mathématiques (presque car une densité n'est pas une probabilité) on dirait qu'un entier a "une chance sur 3" de n'être divisible ni par 2 ni par 3, ou, ce qui revient au même, "deux chances sur 3" d'être divisible par 2 ou par 3 (ou par les deux). En termes courants, on dirait que "deux entiers sur trois sont pairs ou multiples de 3".

Et de même, en regardant le résultat pour k=25 (p=97) on dirait que " 88% des entiers sont divisibles par un nombre premier inférieur à 100".

Voir aussiModifier

Lien externeModifier

Density, article en anglais sur la densité asymptotique dans l'OEIS.

NotesModifier

  1. a b et c J.P. Delahaye, « Les entiers ne naissent pas égaux », Pour la Science - n° 421,‎ (lire en ligne)
  2. (en) Dr. Jörn Steuding, « Probabilistic Number Theory », p. 9
  3. a et b Diaconis 1974, p. 8
  4. (en) W. Narkiewicz, Number Theory, Pologne, World Scientific, (ISBN 9971-950-13-8, lire en ligne), p 80 et 81
  5. (de) H. Davenport, « Über numeri abundantes », Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber., vol. 27,‎ , p. 830-837.
  6. (en) Marc Deléglise, « Bounds for the density of abundant integers », Experimental Mathematics, vol. 7, no 2,‎ , p. 137-143 (lire en ligne).
  7. Diaconis 1974, p. 2
  8. A. Fuchs et G. Letta, « Le problème du premier chiffre décimal pour les nombres premiers », The Foata Festschrift. Electron, J. Combin. 3, n°2,‎ (lire en ligne)
  9. Voir (en) Andrew Granville et Greg Martin, « Prime number races », American Mathematical Monthly, vol. 113,‎ , p. 1–33 (JSTOR 27641834, lire en ligne)

RéférencesModifier