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Densité asymptotique

Ne doit pas être confondue avec la notion topologique de densité.

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, la densité asymptotique (ou densité naturelle, ou densité arithmétique) est une façon de mesurer la « taille » de certains sous-ensembles d'entiers naturels. La densité d'un ensemble A peut être vue comme la probabilité qu'un entier tiré au hasard[1] appartienne à A ; son étude fait partie de la théorie analytique des nombres.

DéfinitionsModifier

Un ensemble A d'entiers positifs est de densité asymptotique α (avec 0 ≤ α ≤ 1) si la proportion des éléments de A parmi les entiers de 1 à n se rapproche asymptotiquement de α quand n tend vers l'infini. Formellement, notant a(n) le nombre d'éléments de A inférieurs ou égaux à n, la densité asymptotique de A, d(A), est définie par[2]

  (si cette limite existe).

Densités inférieure et supérieureModifier

Avec les mêmes notations, on définit la densité supérieure asymptotique (ou simplement la densité supérieure) de A, d(A), par

 ,

où lim sup est la limite supérieure.

De même, la densité inférieure de A, d(A), est définie par

 , où lim inf est la limite inférieure.

A a une densité asymptotique d(A) si les densités inférieure et supérieure coïncident, et alors d(A) = d(A) = d(A)[3].

Densité de BanachModifier

Une notion de densité un peu plus faible est la densité de Banach ; étant donné  , elle est définie par

 .

Densité de SchnirelmannModifier

Article détaillé : Densité de Schnirelmann.

La densité de Schnirelmann de A est définie comme la borne inférieure de la suite a(n)/n ; bien qu'elle soit très sensible aux petits entiers de A (et est par exemple nulle si A ne contient pas 1), elle possède des propriétés intéressantes qui la rendent plus utile que la densité asymptotique en théorie additive des nombres.

Densité logarithmiqueModifier

Des suites plus irrégulières (liées par exemple à la distribution des nombres premiers[4]) peuvent être mesurées par leur densité logarithmique, définie par   cette densité se confond avec la densité asymptotique lorsque celle-ci existe, et on peut ainsi considérer qu'il s'agit d'un procédé analogue aux transformations permettant de calculer la somme d'une série divergente.

Densité relative et densité analytiqueModifier

Article détaillé : Densité analytique.

Particulièrement dans l'étude d'ensembles de nombres premiers, on est amené à définir la densité naturelle relative de A (inclus dans P) comme la limite (quand n tend vers l'infini) du quotient (nombre d'éléments de An)/(nombre d'éléments de Pn). Dans sa démonstration du théorème de la progression arithmétique, Dirichlet a défini une densité plus précise, la densité analytique de A, par la formule :

 

(laquelle se confond avec la densité naturelle lorsque cette dernière existe).

ExemplesModifier

  • Si la densité existe pour A, elle existe aussi pour le complémentaire Ac de A dans ℕ, et l'on a d(Ac) = 1 − d(A).
  • d(ℕ) = 1.
  • Pour tout sous-ensemble d'entiers fini F, d(F) = 0.
  • Si A, B et AB possèdent une densité, alors max(d(A), d(B)) ≤ d(AB) ≤ min(d(A) + d(B), 1)
  • L'ensemble   des carrés parfaits est de densité nulle ; il en est de même de l'ensemble P des nombres premiers (voir Théorème de la raréfaction des nombres premiers).
  • L'ensemble   des nombres pairs a pour densité d(A) = 1/2. Plus généralement, pour toute progression arithmétique  , on a d(A) = 1/a.
  • L'ensemble des entiers sans facteur carré a pour densité 6/π2 (voir Théorème de Cesàro).
  • L'ensemble des nombres abondants possède une densité[5], comprise entre 0,2474 et 0,2480[6].
  • L'ensemble   des nombres dont la représentation binaire contient un nombre impair de chiffres est un exemple d'ensemble sans densité asymptotique, car la densité supérieure est alors que la densité inférieure est 

Cet ensemble possède cependant une densité logarithmique égale à 1/2 (en effet,  , et il y a essentiellement n termes de cette forme à sommer).

  • Si   est une séquence équidistribuée de [0, 1] et si   est la famille d'ensembles alors, par définition, d(Ax) = x pour tout x.

NotesModifier

  1. En toute rigueur, il n'est pas possible de définir une telle notion en respectant les axiomes de la théorie de la mesure ; la densité en est une approche (par passage à la limite de probabilités dans le cas fini).
  2. Nathanson 2000, p. 256-257.
  3. (en) « Asymptotic density », sur PlanetMath.
  4. Voir (en) Andrew Granville et Greg Martin, « Prime number races », American Mathematical Monthly, vol. 113,‎ , p. 1–33 (JSTOR 27641834, lire en ligne)
  5. (de) H. Davenport, « Über numeri abundantes », Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber., vol. 27,‎ , p. 830-837.
  6. (en) Marc Deléglise, « Bounds for the density of abundant integers », Experimental Mathematics, vol. 7, no 2,‎ , p. 137-143 (lire en ligne).

RéférencesModifier