Mesure intérieure

En mathématiques, une mesure intérieure est une fonction définie sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné, qui associe à chaque sous-ensemble une valeur positive, potentiellement infinie.

Cette valeur peut être vue intuitivement comme la valeur minimum de la mesure de ce sous-ensemble.

Définition

Étant donné un ensemble X, une mesure interne est une fonction φ définie sur l'ensemble des parties de X à valeurs positives dans la droite réelle achevée.

$$\phi :{\mathfrak {P}}(X)\to [0,\infty ],$$

qui vérifie les conditions suivantes :

• L'ensemble vide est de mesure nulle :

$$\phi (\emptyset )=0$$

• φ est superadditive : pour tous ensembles A et B disjoints :

$$\phi (A\cup B)\geq \phi (A)+\phi (B).$$

• Pour toute suite A₁, A₂,... d'ensembles emboîtés (c'est-à-dire vérifiant pour tout j $A_{j}\supseteq A_{j+1}$) ) et si A₁ est de mesure finie ($\phi (A_{1})<\infty$) alors,
  $$\phi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\phi (A_{j})$$
• Si l'ensemble A est de mesure infinie, alors pour tout réel positif r, il existe un sous-ensemble B inclus dans A tel que
  $$r\leq \phi (B)<\infty .$$

Mesure intérieure induite

Soit A une tribu sur X et μ une mesure sur cette tribu. Alors μ induit sur X une mesure intérieure μ_* définie pour toute partie T de X par:

$$\mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in {\mathcal {A}}{\text{ et }}S\subseteq T\}.$$

On peut alors voir la valeur de μ_* sur T comme la taille minimale de T, puisque T est au moins aussi grand que la mesure de ses sous-ensembles mesurables (au sens de μ). Bien que μ_* ne soit en générale pas une mesure, elle en partage certaines propriétés

1. $\mu _{*}(\emptyset )=0,$
2. $\mu _{*}$ est positive,
3. Si $E\subseteq F$ alors $\mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F).$

Complétion d'une mesure

La mesure intérieure induite est souvent utilisées de concert avec la mesure extérieure pour étendre une mesure donnée à une tribu plus grande.

Soit μ une mesure finie définie sur une tribu A sur X et μ* et μ_* respectivement les mesures extérieures et intérieures induites par μ, alors les parties T de X telles que μ*(T) = μ_*(T) forment une tribu  contenant A.

On peut alors définir pour tout T dans  une nouvelle mesure μ' telle que

$$\mu ^{\prime }(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)$$

Cette nouvelle mesure est appelée complétion de la mesure μ.

Articles connexes

• Théorie de la mesure
• Espace mesurable
• Espace mesuré
• Mesure extérieure