Superadditivité

En mathématiques, une suite est dite superadditive si, pour tout m et n, elle satisfait l'inégalité

Le principal avantage des suites superadditives est qu'elles obéissent au lemme de Michael Fekete[1].

Lemme de Fekete — Pour toute suite superadditive { an }, n ≥ 1, la limite de an/n existe et est égale à la borne supérieure de an/n. (Notons que cette limite peut être l'infini, par exemple, pour la suite an = log n!.)

De même, une fonction f est dite superadditive si l'on a

pour tout x et y dans le domaine de f.

Par exemple, est une fonction superadditive pour les nombres réels positifs : le carré de (x + y) est toujours supérieur ou égal au carré de x plus le carré de y.

Un lemme analogue à celui de Fekete existe pour les fonctions. Il y a aussi des extensions de ce dernier dans des cas moins forts, par exemple si la propriété de super-additivité n'est pas vérifiée sur tout le domaine de la fonction. D'autres résultats permettent de déduire la vitesse de convergence de cette limite si l'on a à la fois des formes de super- et de sous-additivité. Une bonne présentation de ce sujet peut être trouvée dans Steele (1997)[2],[3].

Si f est une fonction super additive, et si 0 est dans son domaine, alors f(0) ≤ 0. On a en effet

L'inverse de la super-additivité d'une fonction est la sous-additivité.

Exemples de fonctions super-additivesModifier

  • Le déterminant est superadditif pour les matrices hermitiennes non négatives, c'est-à-dire, si   sont des matrices hermitiennes positives, on a :  .

C'est une conséquence du théorème du déterminant de Minkowski, il montre en effet de manière générale que  est super-additif (c'est-à-dire concave)[4] pour des matrices hermitiennes de taille n on a

 pour des matrices non-négatives.

RéférencesModifier

  1. M. Fekete, « Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten », Mathematische Zeitschrift, vol. 17, no 1,‎ , p. 228–249 (DOI 10.1007/BF01504345)
  2. (en) Michael J. Steele, Probability theory and combinatorial optimization, Philadelphie, SIAM, Philadelphia, , 159 p. (ISBN 0-89871-380-3)
  3. CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization () University of Cambridge.
  4. (en) M. Marcus et H. Minc, « Theorem 4.1.8 », dans A survey in matrix theory and matrix inequalities, vol. 14, Courier Corporation, coll. « Dover », (présentation en ligne), p. 115.
  5. Horst Alzer, A superadditive property of Hadamard's gamma function, Springer, (DOI 10.1007/s12188-008-0009-5)