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Hypersphère dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel.

En géométrie, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général .

Sommaire

DéfinitionModifier

Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

 .

Par exemple :

  • pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ;
  • pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
  • pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

(Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».)

PropriétésModifier

Article détaillé : Calcul du volume de l'hypersphère.

VolumeModifier

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n – 1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

 ,

  désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

n pair n impair
     

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n Valeur du volume
exacte approchée
1   2
2   3{,}14159
3   4{,}18879
4   4{,}93480
5   5{,}26379
6   5{,}16771
7   4{,}72478
8   4{,}05871

Le volume d'une telle boule est maximal pour n = 5. Pour n > 5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

 .

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2n ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.

AireModifier

L'aire de l'hypersphère de dimension n-1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume Vn :

 .
 .
n pair n impair
     

La n-sphère unité   a donc pour aire :

 

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n Aire de  
exacte approchée
1   6{,}28318
2   12{,}56637
3   19{,}73920
4   26{,}31894
5   31{,}00627
6   33{,}07336
7   32{,}46969

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n = 6. Pour n > 6, l'aire est décroissante quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

 .

Articles connexesModifier