Fonction indicatrice (analyse convexe)

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble est la fonction qui s'annule sur et prend la valeur sur le complémentaire de dans .

DéfinitionModifier

La fonction indicatrice (ou simplement l'indicatrice) d'une partie   d'un ensemble   est la fonction notée   et définie par

 

Cette fonction diffère de l'indicatrice ou fonction caractéristique d'un ensemble commune aux autres domaines des mathématiques, comme l'analyse (en particulier la théorie de la mesure), et son introduction en analyse convexe et en optimisation est motivée par les considérations suivantes.

  • En analyse convexe, il est utile que cette fonction soit convexe lorsque l'ensemble l'est. Si c'est le cas de la fonction indicatrice définie ici, ce n'est pas le cas de la fonction caractéristique usuelle, laquelle obéit à d'autres motivations.
  • En optimisation, cette fonction indicatrice permet également de représenter un problème de minimisation d'une fonction   sur un ensemble  , par le problème de minimisation équivalent de   sans contrainte.

Convexité et fermetureModifier

Si   est une partie non vide d'un espace vectoriel  , alors

  •   est propre si et seulement si   ;
  •   est propre et convexe si et seulement si   est non vide et convexe ;
  •   est propre et fermée si et seulement si   est non vide et fermé.

ConjuguéeModifier

On suppose ici que   est un espace euclidien.

La conjuguée de l'indicatrice d'une partie   de   est sa fonction d'appui :

 

En particulier, si   est un cône de  , la conjuguée de   est l'indicatrice de son cône dual négatif   :

 

Sous-différentielModifier

On suppose ici que   est un espace euclidien et que   est un convexe de  .

Le sous-différentiel de   est le cône normal   de   :

 

BibliographieModifier