Fonction d'appui

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé réel E est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue s sur E associe la borne supérieure de s(P) dans ℝ.

Définition

La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé E est la fonction notée σ_P et définie par

$\sigma _{P}:E'\to {\overline {\mathbb {R} }}:s\mapsto \sigma _{P}(s)=\sup _{x\in P}\,\langle s,x\rangle ,$

où E' est le dual topologique de E et $\langle s,x\rangle$ est la valeur de la forme linéaire continue s en x.

En particulier, $\sigma _{\varnothing }(s)=-\infty$ (sup(∅) = –∞).

Exemples

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

• La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie P de E est la fonction d'appui de P.
• La fonction d'appui de la boule unité de E est la norme canonique du dual E'.
• Si E est un espace euclidien et si f est une fonction convexe propre définie sur E à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, sa dérivée directionnelle $f'(x;\cdot )$ en un point x dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de f en x (voir « Formule du max »).

Propriétés

• La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
• Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
• Toute partie P a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée co(P). Plus précisément :$\sigma _{P}\leqslant \sigma _{Q}\Leftrightarrow {\overline {\operatorname {co} }}(P)\subset {\overline {\operatorname {co} }}(Q)$.
• A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :$\sigma _{P}=\sigma _{\overline {P}}=\sigma _{\operatorname {co} (P)}$.

Règles de calcul

Somme pondérée d'ensembles

Pour toutes parties P,Q de E et tous réels positifs α,β,

$\sigma _{\alpha P+\beta Q}=\alpha \sigma _{P}+\beta \sigma _{Q}$.

Transformation par une application linéaire

Soient F un autre espace normé, $A:E\to F$ une fonction linéaire continue, $A^{*}:F'\to E'$ son adjointe et P une partie de E.

Alors $\sigma _{A(P)}:F'\to {\overline {\mathbb {R} }}$ s'écrit$\sigma _{A(P)}=\sigma _{P}\circ A^{*}$.

Bibliographie

• (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd. (1^re éd. 1999) (lire en ligne)
• (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2006, 2^e éd. (1^re éd. 2000) (lire en ligne)
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1^re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
• (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)