Fonction d'appui

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé réel E est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue s sur E associe la borne supérieure de s(P) dans .

DéfinitionModifier

La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé E est la fonction notée σP et définie par

 

E' est le dual topologique de E et   est la valeur de la forme linéaire continue s en x.

En particulier,   (sup(∅) = –∞)[1].

ExemplesModifier

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

PropriétésModifier

  • La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
  • Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
  • Toute partie P a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée co(P). Plus précisément :
     .
  • A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :
     .

Règles de calculModifier

Somme pondérée d'ensembles
Pour toutes parties P,Q de E et tous réels positifs α,β,
 .
Transformation par une application linéaire
Soient F un autre espace normé,   une fonction linéaire continue,   son adjointe et P une partie de E.
Alors   s'écrit
 .

RéférenceModifier

  1. Aliprantis et Border 2007, p. 288 et 291.

BibliographieModifier