Fonction génératrice des probabilités

Série génératrice associée à une suite de probabilités

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des probabilités, une fonction génératrice des probabilités est une série génératrice associée à une suite de probabilités, permettant d'en étudier les propriétés ; on l'identifie à la fonction dont elle est le développement en série entière.

Définitions généralesModifier

La fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par

 

On identifie souvent la fonction génératrice à une fonction de la variable x, mais une fonction génératrice est avant tout une série formelle, la fonction de la variable x correspondante ne convergeant pas pour tout x.

  • fonction génératrice de la suite constante 1 :  
  • fonction génératrice de la suite (n) :  
  • fonction génératrice de la suite   :  
  • fonction génératrice de la suite   :  

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (an) définie par la série formelle  .

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z = 1/X, on parle alors de la transformée en Z,  , qui est beaucoup utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite initiale (an) à partir de la fonction génératrice   (resp. la fonction génératrice exponentielle  ) selon les formules

 

Utilisation en théorie des probabilitésModifier

DéfinitionModifier

En théorie des probabilités, soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière :

 ,

  est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k ; les coefficients de la série étant des probabilités, le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à  , en effet : pour   la série qui définit   est uniformément convergente puisque   et que  . Donc on peut, dans ce cas, identifier la série formelle à la fonction dont elle est le développement en série entière.

Fonctions génératrices de lois usuellesModifier

  • Pour la loi de Bernouilli de paramètre p, on a  , dès lors il vient
     .
  • Pour la loi binomiale de paramètres (n, p), on a   et l'on en déduit
     .
  • Pour la loi de Poisson de paramètre λ, on a   et il vient
     .
  • Pour la loi géométrique de paramètre p, on a  , on obtient alors
     .

PropriétésModifier

  • Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.
  • On peut remarquer que
     .
  • Si X admet une espérance   alors   et sa dérivée sont définies en t = 1 et l'on a :
     .
  • Si X admet une variance  , et donc une espérance  , alors   et ses dérivées première et seconde sont définies en t = 1 et l'on a :
     .
  • Deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans   admettent la même fonction génératrice si et seulement si elles ont la même loi de probabilité : La fonction génératrice caractérise la loi. [1].
  • Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes entières et positives. Si X et Y sont indépendantes alors on a :
     
    Remarque : La réciproque est fausse.
  • Si X1, X2, ..., Xn est une suite de variables aléatoires indépendantes, et si
     
    où les ai sont des constantes, alors
     .
  • Par exemple, si les Xi ont de plus même loi (et donc même fonction génératrice G), alors la variable
     
    a pour fonction génératrice :
     .

Composition des fonctions génératricesModifier

La propriété suivante est particulièrement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit   une suite de variables aléatoires de même loi et   une variable aléatoire, toutes à valeurs dans   .

  • On pose
     .
  • On suppose que   est une famille de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

 .

Généralisation aux variables aléatoires non entièresModifier

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.

NoteModifier

  1. Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et, réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque  . Cette relation justifie l'appellation Fonction génératrice des probabilités

Voir aussiModifier

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BibliographieModifier