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Loi bêta-binomiale
Image illustrative de l’article Loi bêta-binomiale
Fonction de masse
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Fonction de répartition

Paramètres — nombre d'essais

Support
Fonction de masse
Fonction de répartition

3F2(a,b,k) est la fonction hypergéométrique généralisée
Espérance
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé voir description
Fonction génératrice des moments
pour
Fonction caractéristique
pour

En théorie des probabilités, la loi bêta-binomiale est une loi de probabilité discrète à support fini, correspondant à un processus de tirages Bernoulli dont la probabilité de succès est aléatoire (suivant une loi bêta). Elle est fréquemment utilisée en inférence bayésienne.

La loi de Bernoulli en est un cas particulier pour le paramètre . Pour , elle correspond à la loi uniforme discrète sur . Elle approche également la loi binomiale lorsque les paramètres et sont arbitrairement grands. La loi bêta-binomiale est une version unidimensionnelle de la loi de Pólya multivariée, similairement aux lois binomiale et bêta qui sont respectivement des cas spéciaux des lois multinomiale et de Dirichlet.

Sommaire

Motivation et expressionModifier

Loi bêta-binomiale comme loi composéeModifier

La loi bêta est la loi conjuguée de la loi binomiale. Ceci résulte d'un changement analytique d'une loi composée où le paramètre   de la loi binomiale est aléatoire et donné par une loi bêta. Plus précisément, si

 

est la loi binomiale où   est une variable aléatoire de loi bêta

 

alors la loi composée est donnée par

 

En utilisant les propriétés de la fonction bêta, ceci peut être écrit de la manière suivante :

 

Dans ce contexte, la loi bêta-binomiale apparaît souvent en inférence bayésienne : la loi bêta binomiale est la loi prédictive d'une variable aléatoire binomiale avec une probabilité de succès donnée par une loi bêta.

Loi bêta-binomiale dans un modèle d'urnesModifier

La loi bêta-binomiale peut également être représentée par un modèle d'urnes, pour des paramètres   et   entiers positifs. Plus précisément, on considère une urne contenant α boules rouges et β boules noires, on effectue alors des tirages aléatoires. Si une boule rouge est tirée, alors deux boules rouges sont replacées dans l'urne (elle-même plus une autre). De la même manière, si une boule noire est tirée, elle est remise avec une autre boule noire dans l'urne. Si on répète cette opération   fois, alors la probabilité de tirer   boules rouges suit une loi bêta-binomiale de paramètres   et  .

Il est à noter que si après les tirages on replace une unique boule, alors la loi est binomiale, et si les tirages sont effectués sans remise, alors la loi est hypergéométrique.

Moments et propriétésModifier

Les trois premiers moments sont

 

et le kurtosis est

 

Si on pose  , on remarque que la moyenne peut être écrite sous la forme   et la variance par

 

  est la corrélation deux à deux entre les   tirages de Bernoulli et est appelé le paramètre de sur-dispersion.

Estimations ponctuellesModifier

Méthode des momentsModifier

L'estimation par la méthode des moments peut être obtenue par l'utilisation des premier et deuxième moments de la loi bêta-binomiale, c'est-à-dire

 

et en les considérant égaux aux moments empiriques

 

En résolvant en   et en  , on obtient

 

Maximum de vraisemblanceModifier

Alors que la méthode du maximum de vraisemblance est inutilisable, sachant que la densité de probabilité est la densité d'un couple de fonction (fonction gamma et/ou fonction bêta), elles peuvent être facilement calculée via une optimisation numérique directe. Les estimées du maximum de vraisemblance à partir des données empiriques peuvent être calculées en utilisant des méthodes générales adaptées aux lois de Pólya multinomiales décrites dans (Minka 2003).

ExempleModifier

Les données suivantes donnent le nombre de garçons parmi les 12 premiers enfants de familles de 13 enfants, pour 6115 familles prises dans des données d’hôpital en Saxe au XIXe siècle (Sokal et Rohlf, p. 59 de Lindsey). Le 13e enfant est ignoré pour considérer le fait non aléatoire que des familles s'arrêtent quand elles obtiennent le genre attendu.

Garçons 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Familles 3 24 104 286 670 1 033 1 343 1 112 829 478 181 45 7

Les deux premiers moments empiriques sont

 

et ainsi les estimées par la méthode des moments sont

 

Les estimées par le maximum de vraisemblance peuvent être trouvées numériquement

 

et le maximum de log-vraisemblance est

 

RéférencesModifier

* Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Rapport technique de Microsoft.

Liens externesModifier