Loi hypergéométrique

loi de probabilité discrète

Loi hypergéométrique
Image illustrative de l’article Loi hypergéométrique
Fonction de masse
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Fonction de répartition

Paramètres
Support
Fonction de masse
Espérance
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé

Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

La loi hypergéométrique de paramètres associés n, p et N est une loi de probabilité discrète, décrivant le modèle suivant :

On tire simultanément n boules dans une urne contenant N1=pN boules gagnantes et N2=qN boules perdantes (avec q = 1 - p, soit un nombre total de boules valant pN + qN = N). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant ce nombre.

L'univers X(Ω) est l'ensemble des entiers de 0 à n. La variable X suit alors la loi de probabilité définie par

(probabilité d'avoir k succès).

Cette loi de probabilité s'appelle la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; N) et l'on note .

Il est nécessaire que p soit un réel compris entre 0 et 1, que pN soit entier et que nN. Lorsque ces conditions ne sont pas imposées, l'ensemble des possibles X(Ω) est l'ensemble des entiers entre max(0 ; nqN) et min(pN ; n).

Exemple simpleModifier

Un lac renferme une centaine de poissons dont un quart sont des brochets. On pêche 10 poissons. La loi du nombre X de brochets dans la prise est H(10,1/4,100).

On trouve alors pour les couples successifs [k , P(X = k)] :

[0, 5%], [1, 18%], [2, 30%], [3, 26%], [4, 15%], [5, 5%], [6, 1%], [7, 0%], [8, 0%], [9, .0%], [10, 0%]

Donc un maximum de chances pour 2 ou 3 brochets. D'ailleurs, l'espérance du nombre de brochets vaut 10/4=2,5.

Calcul de la probabilitéModifier

Il s'agit d'un tirage simultané (c'est-à-dire non ordonné et sans remise même si la loi probabilité resterait la même si l'on décidait d'ordonner le tirage car cela reviendrait à multiplier par n! au numérateur et dénominateur de la quantité P(X=k) de n éléments parmi N, tirage que l'on considère comme équiprobable.

La combinatoire permet de dire que le cardinal de l'univers est  .

Tirage Resté dans l'urne Total
succès k pNk pN
échec nk qNn + k qN
Total n Nn N

L'événement { X=k } (voir tableau) signifie que l'on a tiré k boules gagnantes parmi pN et nk boules perdantes parmi qN. Le cardinal de cet événement est donc  .

La probabilité de l'événement est donc  .
Remarque : comme pour toute densité de probabilités, la somme des P(X=k) vaut 1, ce qui prouve l'identité de Vandermonde.

Espérance, variance et écart typeModifier

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique est la même que dans le cas binomial. Si X suit une loi hypergéométrique de paramètres n, p, N, alors son espérance est  .

La variance d'une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique de paramètres n, p, N est  

L'écart type est alors  .

ConvergenceModifier

Pour n petit devant N, la loi hypergéométrique converge vers une loi binomiale de paramètres n et p. En fait, on considère que, pour N grand, tirer simultanément n boules revient à effectuer n fois une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès serait p (p est la proportion de boules gagnantes dans l'ensemble des boules), car il est très peu probable de retomber sur la même boule, même si on la replace dans l'urne.

En pratique, on peut approcher la loi hypergéométrique de paramètres (n ; p ; N) par une loi binomiale de paramètres (n ; p) dès que n/N < 0,1. C'est-à-dire lorsque l'échantillon n est 10 fois plus petit que la population N.

Un exemple très classique de ce remplacement concerne le sondage. On considère fréquemment le sondage de n personnes comme n sondages indépendants alors qu'en réalité le sondage est exhaustif (on n'interroge jamais deux fois la même personne). Comme n (nombre de personnes interrogées) < N (population sondée)/10, cette approximation est légitime.

Origine de l'appellation hypergéométriqueModifier

L'appellation "loi hypergéométrique" vient du fait que sa série génératrice  est un cas particulier de série hypergéométrique, série généralisant la série géométrique. En effet   est bien une fraction rationnelle en k.