Loi géométrique

Loi de probabilité discrète

Loi géométrique
Image illustrative de l’article Loi géométrique
Fonction de masse
Image illustrative de l’article Loi géométrique
Fonction de répartition

Paramètres
Support
Fonction de masse
Fonction de répartition
Espérance
Médiane (pas unique si est entier)
Mode 1
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique
Fonction génératrice des probabilités

En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique désigne, selon la convention choisie, l'une des deux lois de probabilité suivantes :

  • la loi du nombre X d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p ∈ ]0,1[ (ou q = 1 – p d'échec) nécessaire pour obtenir le premier succès. X est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors {1, 2, 3, ...}.
  • La loi du nombre Y = X – 1 d'échecs avant le premier succès. Le support de la loi est alors {0, 1, 2, 3, ...}.

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Ces deux lois sont différentes. C'est pourquoi il faut préciser la convention choisie en indiquant le support. Dans la suite, sauf mention contraire, on suppose que les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ...

DéfinitionModifier

Support {1, 2, 3, ...}Modifier

En notant  , la probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ... :

 

La probabilité   correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k – 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk – 1p. Dans la suite, nous prenons cette définition.

Support {0, 1, 2, ...}Modifier

Pour l'autre définition, nous avons :

 

Il s'agit lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs consécutifs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir.

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique, au sens suivant. Son espérance n'est plus alors de 1/p mais de 1/p – 1, c'est-à-dire q/p. La variance est identique pour les deux définitions.

Date de mort, durée de vieModifier

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

 
 

Pour p petit, ln(1 – p) est voisin de p donc

 

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

Espérance, variance, écart typeModifier

L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi géométrique de paramètre p est 1p, et sa variance est q/p2q = 1 – p est la probabilité d'échec :

 

L'écart type est donc q/p.

Par exemple, pour  ,   et l'écart moyen  .

Liens avec d'autres loisModifier

Lien avec la loi géométrique tronquéeModifier

Dans les programmes 2011 de Première Scientifique en France[1], on appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p, la loi de la variable aléatoire obtenue en limitant à n le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre p et en notant k le rang du premier succès. Par convention, s'il n'advient aucun succès au cours des n essais, on pose X = 0 (on trouve parfois pour X le nombre d'échecs consécutifs obtenus avant l'obtention d'un premier succès au cours des n épreuves[2]). La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ..., n :

 

et pour k = 0

 

Cette loi de probabilité a pour espérance[1]:  q = 1 - p.

Le terme « tronquée », ici, n'a pas le même sens que celui que l'on trouve dans la définition d'une loi tronquée.

Lien avec la loi exponentielleModifier

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si   alors Y suit la loi géométrique de paramètre

 
 
Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel x,   désigne la partie entière supérieure de x, définie par

 
Conséquence :

Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire Y' suivant une loi géométrique de paramètre p arbitraire (avec toutefois la contrainte 0 < p < 1), à partir d'une variable aléatoire exponentielle X' de paramètre λ, il suffit de poser

 

où l'on a choisi

 

En effet,   suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour   la variable aléatoire Yn suit la loi géométrique de paramètre pn, et si, simultanément,

 

alors anYn converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ.

Lien avec la loi binomiale négativeModifier

Si Xn est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors Xn a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. a et b Document ressource éduscol - Statistique et probabilité - Juin 2011, pp. 13-24
  2. Cours de probabilité 2011/2012 de l'U.J.F. de Grenoble, p. 7