Fonction de masse (probabilités)

fonction qui donne la probabilité d'un résultat élémentaire d'une expérience

En théorie des probabilités, la fonction de masse[1] est la fonction qui donne la probabilité d'un résultat élémentaire d'une expérience. Elle se distingue de la densité de probabilité en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires absolument continues, et que c'est leur intégrale sur un domaine qui a valeur de probabilité (et non leurs valeurs elles-mêmes).

Description mathématiqueModifier

 
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50 et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit   un espace probabilisé.

On appelle fonction masse de  , et on note  , la fonction de   dans   définie par :

 


Lorsque   est discrète, pour tout   :

 

  est l'ensemble des atomes de   et   la mesure de Dirac au point  .


Soit   un espace probabilisé,   un espace probabilisable et   une variable aléatoire.

On appelle fonction masse de  , et on note  , la fonction de   dans   définie par :

 

Lorsque   est discrète, pour tout   :

 

  est l'ensemble des atomes de   et   la mesure de Dirac au point  .

Le théorème de transfert donne, pour toute fonction   :

 


Pour une loi continue, la fonction de masse est la fonction nulle donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c'est-à-dire si elle est absolument continue) on utilise sa densité de probabilité.

ExempleModifier

Soit   une variable aléatoire identifiant le résultat d'un pile ou face à 0 pour pile et 1 pour face. On a :

  •  ,
  •   (par exemple, l'important est que   puisque  ),
  •   (par exemple, l'important est que   soit une tribu sur   qui contienne au moins les événements physiquement possibles de l'expérience),
  •   (par exemple, l'important est que   soit une tribu sur   qui contienne au moins l'image directe par   des événements physiquement possibles).

Si on suppose que les événements   et   ont la même probabilité, alors   (car  ) et par conséquent   pour tout  .

Ainsi la fonction de masse de   vaut :

 

  est une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité associée   est la loi de Bernoulli de paramètre 0,5.

BibliographieModifier

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. (ISBN 0-471-54897-9) (p. 36)

Notes et référencesModifier

  1. Il s'agit d'une traduction littérale du terme anglais mass function[réf. nécessaire].

Article connexeModifier