La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50 et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.
Soit
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
un espace probabilisé.
On appelle fonction masse de
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
, et on note
p
{\displaystyle p}
, la fonction de
Ω
{\displaystyle \Omega }
dans
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
définie par :
∀
ω
∈
Ω
,
p
(
ω
)
=
{
P
(
{
ω
}
)
si
{
ω
}
∈
A
0
si
{
ω
}
∉
A
.
{\displaystyle \forall \omega \in \Omega ,\ p(\omega )={\begin{cases}\mathbb {P} (\{\omega \})&{\text{si}}\ \{\omega \}\in {\mathcal {A}}\\0&{\text{si}}\ \{\omega \}\notin {\mathcal {A}}.\end{cases}}}
Lorsque
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
est discrète , pour tout
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
:
P
(
A
)
=
∑
ω
∈
A
∩
Ω
a
p
(
ω
)
=
∑
ω
∈
Ω
a
p
(
ω
)
δ
ω
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum _{\omega \in A\cap \Omega _{a}}p(\omega )=\sum _{\omega \in \Omega _{a}}p(\omega )\delta _{\omega }(A)}
où
Ω
a
⊂
Ω
{\displaystyle \Omega _{a}\subset \Omega }
est l'ensemble des atomes de
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
et
δ
ω
{\displaystyle \delta _{\omega }}
la mesure de Dirac au point
ω
{\displaystyle \omega }
.
Soit
(
Ω
,
A
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
un espace probabilisé,
(
Y
,
B
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}
un espace probabilisable et
X
:
Ω
⟶
Y
{\displaystyle X:\Omega \longrightarrow Y}
une variable aléatoire.
On appelle fonction masse de
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}}
, et on note
p
X
{\displaystyle p_{X}}
, la fonction de
Y
{\displaystyle Y}
dans
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
définie par :
∀
x
∈
Y
,
p
X
(
x
)
=
{
P
X
(
{
x
}
)
si
{
x
}
∈
B
0
si
{
x
}
∉
B
=
{
P
X
(
{
x
}
)
si
x
∈
X
(
Ω
)
0
si
x
∉
X
(
Ω
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in Y,\ p_{X}(x)&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si}}\ \{x\}\in {\mathcal {B}}\\0&{\text{si}}\ \{x\}\notin {\mathcal {B}}\end{cases}}\\&={\begin{cases}\mathbb {P} _{X}(\{x\})&{\text{si}}\ x\in X(\Omega )\\0&{\text{si}}\ x\notin X(\Omega ).\end{cases}}\end{aligned}}}
Lorsque
X
{\displaystyle X}
est discrète , pour tout
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
:
P
X
(
B
)
=
∑
x
∈
B
∩
Y
a
p
X
(
x
)
=
∑
x
∈
Y
a
p
X
(
x
)
δ
x
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{x\in B\cap Y_{a}}p_{X}(x)=\sum _{x\in Y_{a}}p_{X}(x)\delta _{x}(A)}
où
Y
a
⊂
Y
{\displaystyle Y_{a}\subset Y}
est l'ensemble des atomes de
X
{\displaystyle X}
et
δ
x
{\displaystyle \delta _{x}}
la mesure de Dirac au point
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
.
Le théorème de transfert donne, pour toute fonction
φ
:
Y
⟶
R
{\displaystyle \varphi :Y\longrightarrow \mathbb {R} }
:
E
(
φ
(
X
)
)
=
∑
x
∈
Y
a
φ
(
x
)
p
X
(
x
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\sum _{x\in Y_{a}}\varphi (x)p_{X}(x).}
Pour une loi continue , la fonction de masse est la fonction nulle donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c'est-à-dire si elle est absolument continue ) on utilise sa densité de probabilité .
Soit
X
{\displaystyle X}
une variable aléatoire identifiant le résultat d'un pile ou face à 0 pour pile et 1 pour face. On a :
Ω
=
{
p
i
l
e
,
f
a
c
e
}
{\displaystyle \Omega =\{\mathrm {pile} ,\mathrm {face} \}}
,
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} }
(par exemple, l'important est que
Y
⊃
X
(
Ω
)
=
{
0
,
1
}
{\displaystyle Y\supset X(\Omega )=\{0,1\}}
puisque
X
:
Ω
⟶
Y
{\displaystyle X:\Omega \longrightarrow Y}
),
A
=
P
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )}
(par exemple, l'important est que
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
soit une tribu sur
Ω
{\displaystyle \Omega }
qui contienne au moins les événements physiquement possibles de l'expérience),
B
=
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}
(par exemple, l'important est que
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
soit une tribu sur
Y
{\displaystyle Y}
qui contienne au moins l'image directe par
X
{\displaystyle X}
des événements physiquement possibles).Si on suppose que les événements
{
p
i
l
e
}
{\displaystyle \{\mathrm {pile} \}}
et
{
f
a
c
e
}
{\displaystyle \{\mathrm {face} \}}
ont la même probabilité, alors
P
(
{
p
i
l
e
}
)
=
P
(
{
f
a
c
e
}
)
=
0
,
5
{\displaystyle \mathbb {P} (\{\mathrm {pile} \})=\mathbb {P} (\{\mathrm {face} \})=0,5}
(car
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}
) et par conséquent
P
X
(
{
x
}
)
=
0
,
5
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}(\{x\})=0,5}
pour tout
x
∈
X
(
Ω
)
{\displaystyle x\in X(\Omega )}
.
Ainsi la fonction de masse de
X
{\displaystyle X}
vaut :
∀
x
∈
Y
,
p
X
(
x
)
=
{
0
,
5
si
x
∈
X
(
Ω
)
,
0
si
x
∉
X
(
Ω
)
.
{\displaystyle \forall x\in Y,\ p_{X}(x)={\begin{cases}0,5&{\text{si}}\ x\in X(\Omega ),\\0&{\text{si}}\ x\notin X(\Omega ).\end{cases}}}
X
{\displaystyle X}
est une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité associée
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}}
est la loi de Bernoulli de paramètre 0,5.