Loi uniforme discrète

Loi de probabilité

Loi discrète uniforme
sur l'ensemble
Image illustrative de l’article Loi uniforme discrète
Fonction de masse
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Fonction de répartition

Paramètres
Support
Fonction de masse
Fonction de répartition [1]
Espérance
Médiane
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités, une loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète pour laquelle la probabilité de réalisation est identique (équiprobabilité) pour chaque modalité d’un ensemble fini de modalités possibles.

C'est le cas par exemple de la loi de la variable aléatoire donnant le résultat du lancer d'une pièce équilibrée, avec deux modalités équiprobables : « Pile », et « Face ». C'est le cas aussi de celle donnant le résultat du jet d'un dé équilibré.

Cas généralModifier

PrésentationModifier

Une variable aléatoire   suit une loi discrète uniforme si   peut prendre   modalités distinctes   avec la probabilité   pour chaque modalité  

Plus formellement :

  • Le support d'une variable aléatoire   est l'ensemble   de toutes les modalités distinctes que   peut prendre.
  •   est dite discrète, et uniforme sur   si le cardinal   de   est fini, et si   prend ses modalités avec équiprobabilité.

Calcul d'une probabilitéModifier

La loi uniforme sur un ensemble   se note parfois   Soient   un ensemble fini et   une variable aléatoire suivant   on note :

 

  désigne la fonction indicatrice (ou caractéristique) de l'ensemble   D'un point de vue pratique,

 

Cas particuliersModifier

Modalités non numériquesModifier

  • Un exemple simple de loi discrète uniforme à modalités non numériques est le lancer d’une pièce de monnaie équilibrée. L'ensemble des   modalités possibles de   est   = {« Pile », « Face »} ; et à chaque fois que la pièce est lancée, la probabilité d’un résultat donné vaut  
  • Un autre exemple est la loi donnant la couleur d'une carte tirée au hasard dans un jeu de 32 cartes indiscernables (sauf leurs faces). L'ensemble des   couleurs possibles de   est   = {« Pique », « Cœur », « Carreau », « Trèfle »} ; et à chaque fois qu'une carte est tirée (avec remise), la probabilité d’un résultat donné vaut  
Considérons l'événement « La couleur de la carte n'est pas Pique » :    = {« Cœur », « Carreau », « Trèfle »}. Attention : ici,   n'est pas un événement de l'univers   des 32 cartes, mais de l'univers image de   par   celui des   couleurs possibles. Le cardinal de   est   (et non pas 24), donc en appliquant la dernière formule du § Calcul d'une probabilité,  

Modalités numériquesModifier

Valeurs entières consécutivesModifier

Un exemple simple de loi discrète uniforme à valeurs entières consécutives est le jet d’un dé non biaisé. L'ensemble des   valeurs possibles de   est   et à chaque fois que le dé est jeté, la probabilité d’un résultat donné vaut  

Le tableau ci-contre concerne la loi discrète uniforme sur l'ensemble   Elle n'est qu'un cas particulier de loi discrète uniforme, mais elle est importante car elle génère l'ensemble des autres cas : si   suit une loi discrète uniforme sur   alors il existe une fonction   telle que    est une variable aléatoire suivant la loi discrète uniforme sur l'ensemble   De plus, si   est à valeurs réelles, alors on peut prendre pour   une fonction réelle infiniment dérivable[2].

L'espérance d'une variable aléatoire   suivant la loi   est[3]:

 

Sa variance est[3]:

 

Sa fonction génératrice des moments est[4]:

  et  

Sa fonction caractéristique est[5]:

  et  

On peut généraliser ces résultats, par translation de valeur algébrique   à une loi uniforme sur   entiers consécutifs :

 

 

Son espérance est :

 

Sa variance (invariante par translation) est :

 

Valeurs réelles ou entièresModifier

Si les modalités d’une variable aléatoire uniforme discrète   sont des nombres (entiers ou réels), c.-à-d. si   est une partie (finie) de   ou   alors on peut exprimer probabilité, espérance, et fonction de répartition (c.-à-d. distribution cumulative) en termes de distribution·s déterministe·s.

ProbabilitéModifier

En utilisant des notations de la théorie de la mesure, on peut exprimer la probabilité par :

 

c.-à-d., plus explicitement :

 

  désigne la mesure masse de Dirac centrée en  

En particulier, on peut définir la fonction de masse   par :

 
Fonction de répartitionModifier

On peut définir la fonction de répartition   par :

 

La fonction de répartition est croissante sur  

La fonction de répartition peut s'exprimer par :

 

  désigne la fonction marche de Heaviside translatée de   c.-à-d. la fonction de répartition correspondant à la distribution déterministe centrée en   cette distribution est aussi appelée masse de Dirac en   Cela suppose d'adopter la convention  

EspéranceModifier

L'espérance d'une loi uniforme discrète de support   partie (finie) de   ou   est :

 

c.-à-d., plus simplement[6]:

 

De façon plus générale, si   est une variable aléatoire suivant une loi uniforme discrète de support un ensemble   (fini) quelconque, et si   est une fonction définie sur   et à valeurs réelles, alors, par théorème de transfert[7]:

 
SommeModifier
  • La somme de deux variables aléatoires, même indépendantes, suivant des lois discrètes uniformes de même étendue suit une loi discrète non uniforme[8].
 
La somme S des résultats de deux dés (indépendants) suit une loi discrète non uniforme.
Par exemple, sur la figure ci-dessus,  
  • La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois discrètes uniformes d'étendues différentes peut suivre une loi discrète uniforme.
Par exemple, la somme des résultats d'un dé à dix faces numérotées en dizaines (00, 10, 20, ···, 90) et d'un dé à dix faces numérotées en unités (de 0 à 9) suit la loi discrète uniforme de valeurs 00, 01, 02, ···, 98, 99.

SimulationModifier

Il est possible de simuler une loi uniforme discrète sur   à l'aide de la loi uniforme continue sur   en faisant l'observation suivante[9]: si   suit la loi   et si   est définie par    est la fonction partie entière, alors   suit la loi  

Notes et référencesModifier

  1. Ici,   représente la partie entière de  
  2. « Fondements du calcul mathématique des probabilités » [PDF] (consulté le ), p. 3 (19.2)
  3. a et b Michel Lejeune, Statistique : la théorie et ses applications, Springer Science et Business Media, , p. 45, 46
  4. Francesco Caravenna, Paolo Dai Pra et Quentin Berger, Introduction aux probabilités : Modèles et applications : mathématiques, physique, informatique, sciences de l'ingénieur, biologie, Dunod, , p. 156
  5. Ledoux, « Leçon 10. Description d'une loi de probabilité » [PDF], sur Université de Toulouse, (consulté le ), p. 9
  6. « Loi uniforme discrète », sur Bib@math.net
  7. Rémi Moreau, « Leçon 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications », sur ENS-Rennes (consulté le ), p. 5
  8. « Loi uniforme discrète », sur Supagro.fr
  9. Quentin Berger et Shen Lin, « Introduction aux probabilités » [PDF], sur Sorbonne université, 2021/2022 (consulté le ), p. 79

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Discrete Uniform Distribution », sur MathWorld