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En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le[1] polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité[2], nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual.

Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature :

  • le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à  ;
  • le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ;
  • le polaire de la boule unité fermée de la norme ℓp de ℝn est la boule unité fermée de la norme ℓq, avec 1/p + 1/q = 1.

En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ).

DéfinitionsModifier

Le polaire  [3] d'une partie   d'un espace euclidien   est défini par[4]

 

  désigne le produit scalaire de  .

Exemples
  • Le polaire d'un cône est égal à son cône dual négatif ; en particulier,  .
  • Les boules unité fermées des normes ℓp et ℓq, avec 1/p + 1/q = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas p = q = 2), la boule unité fermée de   est son propre polaire.
  • Dans le plan euclidien, le polaire de la bande   est la demi-droite  .

Le bipolaire d'une partie   de   est le polaire de son polaire. On le note  

PropriétésModifier

On désigne ci-dessous l'enveloppe convexe de   par   et son enveloppe convexe fermée par  .

Propriétés du polaireModifier

On peut voir   comme une intersection de demi-espaces fermés de  , contenant l'origine :

 

Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.

Propriétés du polaire — Soient   un espace euclidien,  ,   et   des parties de  ,   une famille non vide de parties de  . Alors :

  •   est un convexe fermé contenant l'origine ;
  •   et plus précisément :   ;
  • si  , alors   ;
  •   ;
  •   si, et seulement si,   est la boule unité fermée de  .

On peut aussi écrire   comme suit :

 

  désigne la conjuguée de la fonction indicatrice   de l'ensemble  .

Propriétés du bipolaireModifier

Soit   une partie d'un espace euclidien. Alors,  .

Par conséquent,   si, et seulement si,   est un convexe fermé contenant l'origine.

BornitudeModifier

Il n'y a pas d'équivalence entre la bornitude de   et celle de  . Par exemple, si  , qui est borné dans  ,  ,   n'est pas borné. En réalité, comme le montre le résultat suivant, la bornitude de   est équivalente au fait que   contient une petite boule centrée en zéro.

Bornitude — Soit   une partie de   contenant   et soit  . Alors

 

La réciproque de la dernière implication a lieu si   est convexe.

La réciproque de la dernière implication n'est pas nécessairement vérifiée si   n'est pas convexe. Par exemple, si  ,   est borné, alors que   ne contient pas de boule.

ExempleModifier

Polaire d'un polyèdre — Si   est un polyèdre d'un espace euclidien, alors   est un polyèdre convexe.

En effet, puisque   a même polaire que  , on peut toujours se ramener au cas où ce polyèdre   est convexe et contient  .

Puisque   est alors un polyèdre convexe, son indicatrice   est une fonction convexe polyédrique, donc la fonction conjuguée   également, si bien que   est polyédrique, comme ensemble de sous-niveau   de  .

Plus explicitement :   (polyèdre convexe contenant  ) peut s'écrire sous la forme

 

  et   sont des ensembles d'indices disjoints et finis, les points   pour  , les directions   pour  , et   désigne l'enveloppe conique (convexe pointée). Le polaire   de   est le polyèdre convexe

 

AnnexesModifier

NotesModifier

  1. On utilise le masculin pour polaire parce que l'on fait référence à un ensemble. Pour la définition de la (droite) polaire, voir « Pôle et polaire ».
  2. Grothendieck 1955 ; Bourbaki 1981 ; Aliprantis et Border 2007.
  3. Dans ce contexte, pour éviter l'éventuelle confusion entre polaire   (cercle en exposant) et intérieur   (cercle suscrit), l'intérieur d'une partie   est noté  .
  4. C'est la définition donnée par Rockafellar 1970, p. 125 et par Korte et Vygen 2010, p. 95. Dans le cadre plus général de deux espaces en dualité, ≤ 1 est remplacé par ≥ –1 dans Bourbaki 1981, tandis que Grothendieck 1955 utilisait une définition de Bourbaki antérieure (Ferrier 2011, p. 33) et différente, qui dans notre cas euclidien s'écrit :
     .
    Aliprantis et Border 2007 notent eux aussi   cet ensemble (« absolute polar »), et notent   (« one-sided polar ») l'ensemble que nous notons  . Avec leurs notations, on a donc  .

Article connexeModifier

Volume de Mahler (en)

BibliographieModifier