Polytope dual

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la notion de polytope dual généralise celle de polyèdre dual ; il s'agit d'une construction d'un nouveau polytope, dont les (hyper)faces correspondent aux sommets du premier. Cette construction, utilisant la transformation par polaires réciproques, est également étroitement liée à la notion de convexité.

Définition

Soit $x$ un point de $\mathbb {R} ^{n}$ (identifié à l'espace affine euclidien d'origine le vecteur nul) ; on définit le demi-espace $H_{x}^{+}$ par $\{y\in R^{n},<x,y>\leq 1\}$, où <> désigne le produit scalaire ; sa frontière, l'hyperplan $H_{x}=\{y\in R^{n},<x,y>=1\}$ est la polaire de x par rapport à la sphère unité. Soit P un polytope dont les sommets sont les points (non nuls) $v_{i}$ de $\mathbb {R} ^{n}$. Alors le polytope dual $P^{*}$ est le sous-ensemble de $\mathbb {R} ^{n}$ défini par l'intersection de tous les demi-espaces $H_{v_{i}}^{+}$.

Pour un polyèdre P, $P^{*}$ est alors aussi un polyèdre, et on a alors les associations suivantes : la face duale $v^{*}$ d’un sommet v de P est une face du polyèdre $P^{*}$ normale à la droite (Ov). De même, le dual d’une arête e = $(v_{1};v_{2})$ est l’arête égale à l’intersection des duaux des 2 sommets. Enfin, le dual d’une face f de P est un sommet.

Soit x un point de l'intérieur relatif d'une face t de P ; on définit l'ensemble $K_{x}$ par$K_{x}=\{y\in R^{n};\forall x'\in P;<x',y>\leq 1\ et\ <x',y>\leq <x,y>\}$.

$K_{x}$ est alors appelée face duale de t (puisque $K_{x}$ est constant pour tout x dans l'intérieur relatif de t).

Plus généralement, si a est une face de b dans le polyèdre P, $b^{*}$ est une face de $a^{*}$ dans le polyèdre $P^{*}$.

Références

• (en) J. Dattorro, Convex optimization & Euclidean distance geometry, Lulu.com (2006), (ISBN 978-1847280640).

Voir aussi

• Dual d'un polyèdre
• Ensemble polaire (extension du concept à un ensemble quelconque)