Discussion:Tenseur

Inconsistance des notations indicielles

Dans le paragraphe 'Représentation', les indices de vecteurs sont en bas et les indices de formes vectorielles sont en haut. Dans le paragraphe 'Formes linéaires' c'est le contraire. Y a-t-il une notation normalisée ? Si non, il faudrait definir un style pour toute la page.

Les vecteurs ont un indice en bas, les formes linéaires ont un indice en haut. Mais les composantes d'un vecteur dans une base ont leur indice en haut et les composantes d'une forme linéaire dans une base duale ont leur indice en bas. Theon (d) 3 février 2011 à 13:30 (CET)

En mathématiques...

...il y a deux théories des tenseurs: celle présentée ici, une sorte de généralisation de la notion de vecteur et de matrice et utilisant des composant dans un système de coordonnées, et celle n'utilisant aucun système de coordonées utilisée en géométrie différentielle. Ce serait bien de présenter les deux. Y-a-t'il un spécialiste de géométrie différentielle dans la salle?

personnellemet, je suis physicien, j'ai donc présenté le domaine comme je le connais... je laisse la place aux spécialistes... Cdang 21 oct 2003 à 22:55 (CEST) Christophe

Pas de problème, l'article est très bien fait. Hélas, je ne suis pas non plus spécialiste du tout sur le sujet. -- Looxix

l'article est bien fait, mais ne devrait-il pas s'appeler "calcul tensoriel" ? Car les objets présentés sont des formes multilinéaires dans des espaces vectoriels (ou dans des ouverts d'espaces vectoriels), et non des tenseurs généraux (ou champs de tenseurs sur des surfaces ou variétés). Autrement dit ce sont ici des tenseurs très simples et considérés sur une base cartésienne. Et la présentation ne correspond-elle pas à un cours de calcul matriciel (dit tensoriel) appliqué à la mécanique ? Le titre de ce paragraphe "En mathématiques..." est intéressant : cet article baptisé "Tenseur" n'est effectivement pas un article de mathématiques, mais vraiment un article de calculs formels pour la mécanique -- gpfleb

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Pour le changement de base, j'aurais tendance à le voir plutôt écrit de la façon suivante:

Dans la base B ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}\end{pmatrix}}$, les composantes du vecteur ${\vec {u}}$ sont ${\begin{pmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}$. Dans la base $B'{\begin{pmatrix}{\vec {e'}}_{1}{\vec {e'}}_{2}{\vec {e'}}_{3}\end{pmatrix}}$, elles sont ${\begin{pmatrix}u'_{1}&u'_{2}&u'_{3}\end{pmatrix}}$. On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.

Dans la base $B'$, les vecteurs de la base B s'écrivent :

${\vec {e}}_{i}={\begin{pmatrix}e_{i1}e_{i2}e_{i3}\end{pmatrix}}$.

On peut ainsi définir la matrice de changement de base M :

$M_{1}={\begin{pmatrix}e_{11}&e_{12}&e_{13}\\e_{21}&e_{22}&e_{23}\\e_{31}&e_{32}&e_{33}\end{pmatrix}}$

les colonnes de la matrice de changement de base sont les coordonnées des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle. On a alors

${\begin{pmatrix}u'_{1}\\u'_{2}\\u'_{3}\end{pmatrix}}=M\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}$.

-- Looxix

Il faudrait regarder quand on n'a pas une matrice carrée (l'intérêt d'avoir une transposée d'un côté) - ce n'est pas bien difficile, mais j'ai la flemme (-:.

Cdang 23 oct 2003 à 17:31 (CEST) Christophe

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L'article en:Tensor a l'air très bien fait, ce serait une bonne idée de le traduire. (NB: oui, il se pourrait que je contribue un jour à le traduire). C'est une introduction, et il renvoie à deux (ou trois ?) articles sur la vision "physicienne" ("classique") et la vision "mathématicienne" ("moderne") des tenseurs. Probablement à traduire eux aussi. --FvdP 22 oct 2003 à 00:22 (CEST)

note: la vision "moderne" component-free est aussi largement utilisée en physique, notamment en relativité générale. -- Looxix

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Et bien il y a une chose que je ne comprends pas c'est le paragraphe 1.3.1 Formes linéaires et changement de base. L'auteur présente une base seulement normée alors que plus loin il affirme que la base duale est orthonormée, ce qui est possible seulement si la base originale l'est (cela doit être dû à l'utilisation du produit vectoriel qui n'est facile à calculer que dans des espaces orthonormés). Si quelqu'un peut m'éclairer sur le sujet, il serait le bienvenu...

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Je serais bien tenté de refondre cet article (en y intégrant notamment celui sur le Produit tensoriel‎). J'ai toujours pensé que l'aspect calculatoire des tenseurs ne devrait intervenir qu'aprés avoir posé clairement les régles algébriques. Bien sûr l'approche physique du tableau multidimensionnel est sans doute la première historiquement parlant mais elle a le gros inconvénient de prêter à croire que les tenseurs sont des objets dépendant des bases, ce que même en physique on ne souhaite pas. Rappelons-nous bien que l'opération de changement de base n'est pas définie pour un tenseur mais pour la représentation d'un tenseur dans une base. Par ailleurs comme il a été dit plus bas, les notions de variances et contravariances manquent cruellement ! Assimiler les deux n'est possible que lorsqu'on s'est donné une opération de transposition. La donne d'un produit scalaire en fournit une mais a priori un espace vectoriel de dimension fini NE possède PAS naturellement de produit scalaire. --Burakumin (d) 23 juin 2008 à 10:49 (CEST)

Je partage cet avis. Une réécriture dans ce sens serait la bienvenue. --gpfleb

tentative de refonte

Comme indiqué ci-dessus je me suis lancé dans une tentative de refonte de l'article tenseur ( voir le brouillon sur ma page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Burakumin/Brouillon ). Pour le moment je n'ai pas cherché à modifier l'article en ligne (et peut-être cela n'arrivera pas). Cela dit je me rend compte que je travaille de manière trop isolée et qu'il n'est pas impossible que je fasse fausse route sur certains points. Aussi apprécierais-je quelques retours (pas trop méchants j'espere, ce n'est qu'un brouillon). Sur mon travail :

• j'ai réécrit la partie théorique en me concentrant sur les définitions mathématiques (il n'y a pas encore tout ce que je veux dire mais c'est un début) et les principales propriéts qui en découlent ;
• je pense récupérer de l'article actuel la partie historique et les exemples d'utilisation en physique.

Je suis conscient qu'il y a plein de points à problèmes (c'est notamment sur eux que je voudrais un avis) :

• l'absence de références et des liens internes (bien sûr, à terme cela est amené à changer, mais peut-être est-ce une mauvaise façon de procéder que d'inclure ses refs à la fin) ;
• l'approche peut-être trop matheuse (cela dit l'approche actuelle est clairement trop floue au niveau des définitions) ;
• la longueur peut-être excessive de ce qui n'est encore qu'une ébauche (comment savoir ou s'arrêter dans le niveau de détail ?) ;
• les dessins (peut-être le plus gros problème : j'ai voulu illustrer avec une représentation intuitive et symbolique du fonctionnement des tenseurs ; cela dit dans la mesure où il s'agit d'une idée personnelle, je me demande si l'on peut me reprocher d'introduire des éléments trop "exotiques" parce que non utilisés ailleurs).

Wala wala. Toute remarque sera la bienvenue --Burakumin (d) 24 septembre 2008 à 00:24 (CEST)

je vais essayer de prendre du temps pour regarder. --gpfleb

covariante/contravariante

Bonjour,

Il semblerait quen relativité générale, on utilise le terme de vecteur pour les composantes contravariantes, contrairement à ce qui est exposé ici, et de covecteur pour les composantes covariantes. C'est du moins cette notation qu'utilise mon professeur, et je l'ai retrouvée par exemple ici : http://sciences.ows.ch/physique/RelGeneraleDeb.pdf. N'étant pas un spécialiste, je laisse à d'autres le soin de confirmer...

Skippy le Grand Gourou.

Somme/produit dans le nombre de composantes

J'ai cru déceler une erreur dans la première sous-section (Notion de tenseur), en ce qui concerne. Je crois que le nombre de composantes est respectivement mⁿ et ∏_{i = 1,…n} m_i dans les deux exemples. Peut-être ai-je à tort assimilé le nombre de coefficients avec le nombre de composantes, dans quel cas il faudrait supprimer mes modifications et rendre le texte plus clair.

Doub.

Vecteur != tenseur

Je ne vois pas ce que la partie "Changements de base" fait dans cet article. On y traite du changement de base d'un vecteur, et non d'un tenseur. De même, la partie "Composantes covariantes et contravariantes" traite de l'espace dual d'un espace vectoriel, qui est nécessaire pour introduire les coordonnées contravariantes et covariantes, utilisées justement pour les tenseurs, mais on ne va pas jusqu'à aborder ce sujet, qui justement est l'objet de l'article...

Qu'en pensez-vous ?

Zejames ^(réagir) 3 février 2006 à 11:02 (CET)

Notion de tenseur

J'aurais plutôt vu

Un tel tenseur d'ordre n représente une application multi-linéaire de $E\times E\times ...\times E$ dans $E$ :

En effet, si je prend l'exemple d'une matrice de changement de base (donc un tenseur d'ordre 2 si j'ai bien compris) l'application associe à un vecteur un vecteur c'est donc une application de $E$ dans $E$ (et non pas $\mathbb {K}$). Si un mathématicien veux bien confirmer et corriger le cas échéant...

Ben non certainement pas

remarques

les formules de changement de coordonnées des vecteurs u et f sont dérangeantes, les nouvelles coordonnées ayant les memes noms que les anciennes ! je ne vois pas bien ou on utilise une matrice transposée dans le changement de base pour les coordonnées covariantes. il me semble que la transformation de coordonnées contravariantes utilise par contre la matrice inverse et transposée, c'est a dire que la formule de transformation de f écrite fait passer des nouvelles aux anciennes coordonnées (impossible a savoir compte tenu des notations)

je ne pense pas que vulgarisation devrait signifier d'ignorer les erreurs !

Atome Kid ^(réagir) 28 novembre 2006 à 19:07 (CET)

Le produit alternatif, kézako ? Merci de m'éclairer.

Tenseurs version mathématiques

J'avais déjà fait part de mon désir de présenter plus mathématiquement les tenseurs. Suite à une discussion ici nous avions convenu qu'il serait préférable de séparer pour tenseur la vision matheuse de la vision physicienne. Je n'ose pour le moment pas trop touché au présent article. Je n'ai fait qu'intégrer un lien vers Tenseur (mathématiques) pour le moment, mais il serait peut être plus cohérent d'en supprimer la plupart des formules de math pour n'en conserver que la vision générale/physique. Qu'en pensez-vous ? --Burakumin (d) 18 janvier 2009 à 15:17 (CET)

Salut. Grande question que de savoir comment articuler entre eux les différents articles. J'ai bien peur que chacun ait une vision différente du problème ; en attendant, voici la mienne. Il faut selon moi éliminer en effet les grosses redondances. Cela dit, je trouverais bizarre que l'article actuel ne conserve que la vision physicienne. Tel que c'est parti, et vue la présence de Tenseur_(mathématiques), je verrai bien un regroupement de l'approche physique dans un Tenseur_(physique) pour préserver un certain équilibre. Quant à Tenseur, il pourrait devenir un article plus court, très synthétique même, qui se contenterait de renvoyer vers les articles détaillés, non seulement pour physique et math, mais aussi produit tensoriel et tous les articles qui tournent autour du sujet. En clair, un article qui dirait la même chose que l'immense palette de navigation sur la droite, mais avec des phrase et donc un chouia d'explications avec.

En clair, je propose de faire de tenseur une sorte de grande "table des matières" commentée des articles tournant autour de tenseurs. Ce serait aussi l'occasion de faire un bon coup de balai. Faut-il garder par exemple algèbre tensorielle ? Le contenu actuel laisse à penser que l'auteur initial voulait faire un truc qui pourrait aussi bien porter le titre de "tenseur"... A voir. Tizeff (d) 19 janvier 2009 à 15:37 (CET)

C'est la vision que me proposait Utilisateur:Jean-Luc W. Par ailleurs wikipédia anglais découpe lui aussi et se permet un article général (en:Tensor) incluant des liens vers non pas deux mais trois articles différents : en:Classical treatment of tensors, en:Intermediate treatment of tensors et en:Tensor (intrinsic definition). Alors effectivement, pourquoi ne pas découper l'article actuel en une partie générale et une autre réservée à la vision physique. Cela dit n'étant pas physicien je n'ose pas trop "trancher dans le lard".

Concernant les articles périphérique je suis d'accord avec toi sur le fait algèbre tensorielle peut sauter ou être intégré dans un autre article. Espace tensoriel me fait réfléchir. C'est une ébauche et beaucoup de chose semble trés rendondante avec l'article Tenseur (mathématiques) à ceci prés qu'il se place dans le cadre plus général des modules sur un anneau. A intégrer ? A développer ? produit tensoriel nécessiterait d'être remanié tant il est calculatoire.--Burakumin (d) 19 janvier 2009 à 20:03 (CET)

En mathématiques, je n'ai jamais vraiment rencontré de tenseur au sens des physiciens, en revanche les algèbres tensorielles sont aussi fondamentales que les groupes libres pour construire une foultitude d'algèbres. Elles méritent donc complètement un article. Ambigraphe, le 19 janvier 2009 à 22:51 (CET)

Sans doute, je te fais entièrement confiance là-dessus (car je n'y entends rien, va sans dire). Par contre, le petit paragraphe de l'article actuel ne contient pas la moindre bribe d'idée de début de commencement d'évocation furtive de ce que tu dis. En l'état, il est à blanchir ; je ne suis pas pour le laisser dans cet état sous prétexte qu'on pourrait dire des trucs pertinents en parlant d'une chose différente sous le même titre. Pourrais-tu écrire ne serait-ce qu'une phrase d'intro pour dire de quoi cet article devrait parler ? Ça permettrait au moins de le replacer par rapport aux autres articles sur le thème. Tizeff (d) 19 janvier 2009 à 23:08 (CET)

J'ai fait le nettoyage et renvoyé vers l'article « Tenseur » pour l'algèbre tensorielle au sens de théorie des tenseurs. Ambigraphe, le 19 janvier 2009 à 23:13 (CET)

Mille merci. Tizeff (d) 19 janvier 2009 à 23:22 (CET)

Traductions

J'ai repris une partie de la structure de l'article italien, qui est beaucoup plus structuré. Cela ajoute aussi une définition en tête d'article et un titre introduction, qui manquait. Je m'aperçois que la section "définition plus complexe" en mathématiques, correspond en fait à un champ de tenseurs et non à un tenseur. On l'enlève ?

Cfu (d) 5 juillet 2009 à 12:58 (CEST)

Salut Cfu, comme tu peux le constater, l'article présent manque de cohérence (sans doute du fait de rajoutes et recollages répétés). Il y a un mélange entre divers visions des choses (tenseur = forme multilinéaire ou champ de tenseurs), des redondances un peu partout, des choix de notations discutables (comme cela est déjà indiqué au dessus, prendre la même notation pour les coordonnées d'un tenseur dans deux bases distinctes est plutôt contestable, mais c'est peut etre usuel en physique). En tout cas, si tu veux faire des modifs de fond, je ne peux que t'y encourager. Je n'ai pour ma part jamais trop osé tranché dedans vu que je ne suis pas trés au fait de la vision physique de la chose et que l'article est sencé rester général. --Burakumin (d) 6 juillet 2009 à 18:39 (CEST)

Dans un but d'unification de vocabulaire dans une science exacte,je pense qu'il serait souhaitable d'utiliser uniquement le mot anglais tensor,ce qui serait plus simple et ne ferait rien perdre (ceci dans les sciences exactes,mais bien évidemment pas dans les sciences humaines,où les mots de la culture locale ont une grande importance primordiale).

En ce qui concerne la présentation logique des tensors,je pense qu'elle doit normalement être faite dans un développement en trois étapes au moins : -le concept qui vient de l'algèbre multilinéaire,avec un espace vectoriel de dimension finie et son dual,les notions de covariance et de contrevariance liées au problème de changement de base,ainsi que le produit tensoriel et le produit contracté des tensors -les tensors euclidiens,notamment le tensor métrique,et les formes associées d'un même tensor euclidien par l'ascencion et la descente d'indice -le passage à la géométrie différentielle,avec les notions locales de tensor en un point,puis de champ de tensors,de dérivation covariante,puis les géométries riemaniennes Le passage d'une étape à la suivante se fait par réutilisation des notions précédentes. -passage aux applications en physique--90.14.31.243 (d) 28 avril 2010 à 12:38 (CEST)

Pédagogie de l'article

C'est dommage que ça reste hyper-théorique. J'ai vu le même style d'article sur la transformée de Fourier. On s'éloigne alors de l'esprit Wiki. Des exemples de tenseurs simples permettraient d'améliorer la compréhension peut-être en comparant avec les torseurs.

Ivan Lovric ESECO SYSTEMS

Erreur d'indices ?

Je me trompe peut-être, mais il me semble que $T(e^{i},e_{j},e_{k})={T^{i}}_{jk}$ n'est pas correcte, c'est i qui devrait être en bas en tant qu'indice de covariance, non ? J'aurais donc plutot écris ça: $T(e^{i},e_{j},e_{k})={T^{jk}}_{i}$

Il me semble qu'on a bien $T(e^{i},e_{j},e_{k})={T^{i}}_{jk}$ puisque, par exemple, $T(x,e_{j},e_{k})=T(\sum x_{i}e^{i},e_{j},e_{k})=\sum x_{i}{T^{i}}_{jk}$. On somme sur l'indice qui se trouve une fois en haut et une fois en bas.Theon (d) 6 janvier 2011 à 13:29 (CET)

Tenseur

Bonjour, vous avez récemment modifié l'intro de l'article Tenseur. Je me suis permis de faire quelques menues corrections. Celà dit en le relisant, il me semble que la phrase <<dont la valeur s'exprime dans un espace vectoriel>> manque de clareté. Que cherchez vous à dire par là ? Qu'un ensemble de tenseur d'un type donné forme un espace vectoriel ? Que traditionellement on forme les tenseurs à partir d'un espace vectoriel de référence ? Il me semble qu'il faudrait trouver une autre tournure.--Burakumin (d) 8 février 2011 à 16:01 (CET)

Ce que je veux dire, par là, c'est qu'un tenseur n'est pas avant tout un ensemble de nombre, mais est d'abord un objet abstrait comme un vecteur ou un transformation linéaire, qu'il es donc indépendant de sa représentation, et qu'il obéit comme eux aux lois de changement de base de l’espace vectoriel. Camion (d) 8 février 2011 à 16:12 (CET)

Je vois que vous avez supprimé ma référence au produit scalaire… ça me pose un problème car sans produit scalaire, il est impossible d'avoir des coordonnées covariantes. ça devrait être clarifié. Camion (d) 8 février 2011 à 16:17 (CET)

Et bien dans selon moi, il ne va pas de soi que n'importe quel tenseur doive nécessairement avoir des "coordonnées covariantes". L'idée d'un produit scalaire (ou plus généralement d'une forme bilinéaire non dégénérée) c'est d'introduire à la fois une notion d'orthogonalité interne et une notion de (pseudo-)norme. Cela permet bien sûr de faire des choses en plus, mais le formalisme de base des tenseurs ne le requiert pas. Et parfois on ne veut justement pas de ces possibilités supplémentaires parce qu'elles ne modélisent rien dans notre problème et que leur introduction serait un choix arbitraire (tout comme le choix d'une représentation particulière dans une base donnée est, comme vous le rappeller vous-même, un choix arbitraire dont le concept abstrait de tenseur n'a pas besoin dans sa définition). Sommes-nous d'accord sur ce point ? --Burakumin (d) 8 février 2011 à 17:10 (CET)

J'ai été un peu vite dans ma réponse. On a forcément toujours des coordonnées covariantes, puisque la contraction se fait entre indice covariant et contravariant, mais pas nécessairement le tenseur métrique qui permet de passer de l'une à l'autre. Maintenant, Attention que très souvent on se passe du concept de coordonnées co variantes, non pas parce qu'on n'a pas de produit scalaire, mais parce que la base est orthonormée, ce qui implique au contraire qu'on en a un. Ceci dit, effectivement, si on se passe de possibilité de mesurer des distances et des angles, effectivement, on n'a pas besoin de produit scalaire.Camion (d) 8 février 2011 à 18:56 (CET)

Je m'immisce, de nouveau pour recommander à Camion d'éviter d'éditer des articles sans sources, particulièrement sur les sujets qu'il ne connaît pas bien. Certes le mot « tenseur » est assez polysémique (avec des sens liés les uns aux autres), mais je suis en total accord avec Burakumin : les tenseurs existent en dehors de considérations de produit scalaire, même seulement pseudo-euclidiens. Certaines des formules les concernant n'ont alors plus de sens, mais tout ne se dégonfle pas. Merci de t'appuyer sur un ouvrage de bonne qualité pour faire des modifications dans l'article, et de n'en faire que sur des points où tu es sûr de toi. Touriste (d) 8 février 2011 à 21:06 (CET)

Oui, enfin, je prétend pas ne jamais me tromper mais c'est pas comme si je ne comprenais pas ce que j'écris, non plus. D'ailleurs je n'ai jamais dit que je n'étais pas d'accord avec Burakumin, c'est juste qu'une part très importante du calcul tensorielle repose sur le tenseur métrique et le produit scalaire. C'est la raison pour laquelle j'ai ajouté le passage sur les différents cas de figure. Ok, c'est une synthèse personnelle, mais je pense pas qu'elle avance quelque chose d'inédit. Tout ce que j'ai mentionné provient d'autres articles ou des cours que j'ai suivi sur le sujet... Et je suppose que tu ne t'attends pas à ce que je mette comme référence : "Mon cours de math de telle année par mr untel". Maintenant, si tu pense que cette façon de décomposer le problème n'est pas bonne, pas de problème, on en discute Camion (d) 9 février 2011 à 01:56 (CET)

Je n'attends pas « mon cours de math de telle année par mr untel » mais la référence à un chapitre d'un livre disponible dans des bibliothèques ou d'un document disponible sur le web. Par ailleurs il y a un deuxième problème, que tu oublies : on met dans le résumé introductif un résumé du corps de l'article, pas une idée plus ou moins bonne qui passe par la tête. Touriste (d) 9 février 2011 à 07:11 (CET)

Bonjour à vous deux. J'ai été lire l'intro de tenseur, et les modifs récentes. Je trouve personellement que les modifications reverts de Camion fournissent une explication intéressante, qui manque d'ailleurs au reste de l'article. On cherche encore les exemples de la partie "introduction et exemples" par exemple. Donc je serais pour intégrer quelque part ces modifications, tout en étant d'accord avec le fait que l'intro n'est pas le meilleur endroit. Par ailleurs, je te trouve, Touriste, presque aggressif. Je ne connais rien de votre passé à tout les deux, mais ton interlocuteur à l'air entièrement disposé à collaborer pour trouver la meilleure solution, je ne vois pas de raison d'être autant sur la défensive. Bonne chance à vous deux pour améliorer cet article ! Jick01 (d)

Touriste, tout ce que tu mets en évidence, c'est que ces points sont mal expliqués dans l'article. Si tu lisais entre les lignes, tu verrais qu'ils sont évidents, en faisant les liens entre l'articles et ma discussion avec Burakumin + pour les derniers points, un passage par les variétés Riemanienne. Par ailleurs, je n'ai pas dit que je n'ai pas de sources, ce qui me manque, ce sont des références à citer. ça ne veut pas dire que ce que j'écrit soit douteux, c'est juste que je prends mes sources dans des cours et dans les autres articles sur WP et que je ne possède pas des masses de bouquins sur le sujet, alors, oui, si quelqu'un à des références, ce serait bien de les ajouter, mais c'est pas une raison suffisante pour réverter tout ce que j'écris. Camion (d) 9 février 2011 à 10:33 (CET)

@Burakumin je ne connais pas les tenseurs mais je comprends de cette phrase qu'un tenseur est une application dont l'ensemble d'arrivée est un espace vectoriel. si c'est bien cela, c'est clair. Thanjuzo (discuter) 7 février 2024 à 23:40 (CET)

Pour en revenir à la modification en 4 points proposée par Camion, j'avoue avoir des remarques/réserves à émettre. << ... mais je pense pas qu'elle avance quelque chose d'inédit >> Inédit non, mais disons qu'elle montre une approche via un angle de vue particulier (ce qui n'est pas un problème en soi) avec sur la fin une tentative que je trouve un peu maladroite de gagner en généralité et des points que j'estime simplement faux.

Il y a moults choses à dire et à débattre sur le mode de présentation des tenseurs (et cela a déjà donné lieu à des débats). La première remarque est qu'il s'agit d'un concept utilisé dans deux cultures différentes : celle des physiciens et celles des mathématiciens. Et que même dans ces cultures (qui n'ont évidemment rien de dijoint) le concept de tenseur n'évoquera pas la même chose pour qqn qui s'intéresse par exemple aux contrainte dans un matériau et qqn qui fait de la relativité générale, ou pour quelqu'un qui s'interesse aux catégories monoïdales et qqn qui manipule des variétés symplectiques ... Historiquement le présent article était trés orienté physicien et c'est suite à cette constatation que j'avais crée l'article Tenseur (mathématiques). Il semble qu'il ait évolué vers qqch de plus matheux et du coup celà pose le problème :

• l'approche chère aux physiciens est peu présente;
• il y a une certaine redondance entre les articles Tenseur et Tenseur (mathématiques).

Ce rappel pour illustrer ceci : Touriste, bien que tu rappelles plusieurs fois que le tenseur est un objet abstrait indépendant des bases, il me semble que ta démarche reste plutôt proche de celle habituellement utilisée en physique où grosso modo un tenseur c'est un jeu d'association entre les bases d'un ev et des tableaux de coordonnées qui doivent respecter certaines contraintes (et l'approche est bien historiquement physicienne même si c'est un prof de math qui te l'a présenté). C'est sans doute une façon de concevoir les choses qui a trop disparu des articles habituels et qui devrait peut etre cohabité avec la vision plus abstraite.

Aprés ça, reste à voir comment faire pour la réintroduire ...

Reprenons ta modification :

• Le cas simple, où on l'utilise pour ses capacités à représente des objets algébriques complexes et on n'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles, on n'introduira pas de produit scalaire, et dans ce cas les coordonnée co-variantes représentent des objets de types applications linéaires et les coordonnées contravariantes représentent des objets de types (multi-)vecteurs
• Le cas où la base est orthonormée, et il n'y a pas de différence entre coordonnées covariantes et contravariantes.
• Le cas ou la base n'est pas orthonormée, et le produit scalaire est défini par un tenseur métrique. Dans ce cas, le tenseur métrique permet de convertir les coordonnées covariantes en coordonnées contravariantes (et vice versa)

Il est faux qu'une application linéaire ne s'exprime qu'avec des coordonnées covariantes (c'est vrai en revanche pour des formes linéaires) et la phrase donne l'impression qu'il y aurait une dichotomie tranchée entre des applications linéaires avec des coordonnées covariantes d'une part et des multivecteurs avec des coordonnées contravariantes d'autre part. Or une application linéaire de E dans E (un endomorphisme) sera représentée par un tenseur mixte donc admettant des coordonnées présentant à la fois un caracàtère covariant et contravariant.

Par ailleurs on voit trés clairement l'approche en coordonnées. Je répète que ce n'est pas forcément un problème en soi, mais le problème ici c'est que tu vas un peu vite en besogne ... On ne sait pas vraiment encore bien précisément ce que veux dire ici coordonnées d'un tenseur et covariantes et contravariantes sont résumées à une distinction indices supérieurs / indices inférieurs, donc établir des distinctions en se basant sur le rapport qu'entretiennent les coordonnées covariantes et contravariantes d'un même tenseur me semble à ce niveau de l'introduction tout sauf éclairant.

Enfin on peut également garder à l'esprit qu'une approche matheuse peut PRESQUE ENTIEREMENT se passer des coordonnées pour expliquer les tenseurs (c'est ce que j'ai notamment essayé de présenter dans Tenseur Mathématiques)

• Le cas des espaces courbes de Riemann dans lesquels le tenseur métrique est en fait un champ de tenseurs appelé métrique riemannienne et qui dépend donc de la position.

Le lien avec la géométrie différentielle est possible bien sûr, et même souhaité, mais la réduire à la géométrie riemmanienne n'est pas forcément nécessaire d'une part et surtout même dans le cas riemmanien il y a bien heureusement d'autres (champs de) tenseurs que le tenseur métrique ! Alors que la phrase semble suggérer qu'on y trouve que lui !

Ce n'étais pas mon intention, Ce que j'ai voulu dire c'est que le tenseur de riemann à ceci de particulier que contrairement au tenseur métrique dans les espace euclidiens et pseudo euclidiens, ici, il détermine une courbure à l'espace. ce qui me semble vraiment être un cas particulier par rapport à ce qui précède.Camion (d) 9 février 2011 à 14:10 (CET)

En fait, ma critique générale vis-à-vis de ce découpage est qu'il semble se présenter en typologie des cas d'utilisation mais qu'il est pourtant trés lacunaire ! Il eu été moins risqué de le retravailler et de proposer une liste d'exemples (ce qui semble interesser quelqu'un comme Jick01).

C'est possible, j'ai essayé de mettre en évidence un typologie eu égard à la discussion qui précédait, mais il est tout à fait possible que je sois passé à coté de quelque chose…

pour préciser mon idée, les 4 cas d'utilisation sont

• Pas de produit scalaire
• Produit scalaire canonique
• produit scalaire défini par le tenseur métrique
• Produit scalaire défini sur un espace tangent en chaque point.

J'avais dans l'idée que ça devait être plus ou moins exhaustif... tu pensais à quoi, qui ne serait pas repris ? Camion (d) 9 février 2011 à 14:10 (CET)

Au final je me demande s'il ne devrait pas y avoir un article trés général sur les tenseurs qui ne rentre dans aucun détail technique mais qui renvoie explictement sur les différents articles abordant les différentes visions de la notion.--Burakumin (d) 9 février 2011 à 13:55 (CET)

Je vois que ma révocation ne fait pas consensus, et suis prêt à m'adapter. Je vais donc faire quelques remarques point par point sur les insertions de Camion, en l'invitant à les modifier lui-même en conséquence plutôt que de me battre contre lui.

Le problème de fond est son insertion de "4" cas d'usage des tenseurs en introduction, sans que ça corresponde à des développements dans le plan.

Je saisis bien son "1er cas", ou crois comprendre ce qu'il veut dire : il s'agit des utilisations en algèbre du produit tensoriel sur un espace vectoriel (ou module). En relisant je ne suis plus sûr de comprendre : il s'agit des utilisations où l'espace sous-jacent n'est pas pseudo-euclidien. Il y a probablement quelque chose à tirer de cette idée, mais en l'absence d'exemple me montrant ce qu'il veut dire je ne suis pas sûr de piger. Écrire d'abord une section de plusieurs phrases à peu près compréhensible, puis la résumer en deux phrases éclairées par la section qu'elle résume me semble la seule façon de faire quelque chose d'un minimum vérifiable (puisque j'ai compris que Camion refuse la méthode normale consistant à renvoyer à un document écrit par un tiers). Comme le fait remarquer Burakumin, l'explication de "contravariant" et "covariant" est un peu réductrice, je ne suis pas sûr qu'elle apporte quoi que ce soit à quelqu'un qui ne connaît pas déjà le sujet (quelqu'un qui sait qu'il faut comprendre "application linéaire" par "forme n-linéaire", a une idée de ce que veut dire la parenthèse dans "(multi)vecteur", sait qu'il existe des tenseurs mixtes, partiellement covariants et partiellement contravariants.

Les points 2 et 3 sont ceux qui m'ont le plus irrité. Je n'y ai rien compris : « la » base ? Quelle base ?

Le point 4 est mal articulé avec la phrase déjà présente sur les champs de tenseurs. Autant que je le comprenne, ce point 4 est la situation particulière où le tenseur vit au sein d'un champ (et si je n'ai pas compris, c'est que ce n'est pas du tout clair) puisqu'il est précisé qu'il « dépend alors de la position ». Mais alors ce point 4 n'est pas du tout exclusif du 1 (une forme différentielle est un tenseur qui dépend de la position et ne contient pas de produit scalaire dans sa définition - donc est à la fois dans 1 et dans 4). Il est à l'évidence important de mettre en relief la notion de champ de tenseurs, mais l'article le faisait déjà. L'apport de deux exemples (la métrique en géométrie riemannienne, la relativité) m'a d'abord donné l'impression d'être un bien - mais l'endroit où c'est fait est bizarre, une phrase ailleurs dans l'intro parlait déjà de la courbure riemanienne, évoquer la métrique riemanienne sans chercher à synthétiser ces deux phrases n'est pas bien. De même la relativité générale était déjà évoquée dans l'intro. En parler une deuxième fois n'apporte rien.

En revanche, je continue à penser que cette division en quatre cas est un pur "travail inédit". Énumérer des motivations à l'utilisation de tenseurs dans une section "Motivations" est une chose qui peut se faire avec une place libre pour une certaine créativité, annoncer « On peut envisager l'outil tenseur dans 4 types d'utilisation différents » ne peut se faire si ce n'est pas une classification des utilisations des tenseurs faisant consensus et transparaissant dans le plan de la majorité des sources à ce sujet. Touriste (d) 9 février 2011 à 14:34 (CET)

Complément : la lecture du résumé de ta typologie arrivé pendant que je préparais ma réponse (juste au-dessus, daté de 14 heures 10) m'éclaire sur le sens de ta "typologie". Si on le prend comme ça, elle est en effet exhaustive (à ceci près qu'il faudrait l'indenter, je la reprends) :

• Pas d'intervention de produit scalaire
• Intervention d'un produit scalaire
  • Intervention d'un produit scalaire dans un problème concernant un seul espace vectoriel
    • Cas où c'est le produit scalaire canonique sur K^n
    • Cas où c'est un autre produit scalaire
  • Intervention d'un produit scalaire dans un problème concernant un champ de tenseurs

Cette typologie me paraît originale, et en tous cas inadaptée. La division champ/pas champs me semble primer à l'évidence sur la distinction présence d'une forme bilinéaire/absence d'une forme bilinéaire (d'autant que quand il n'y en a pas dans la question, il peut être judicieux d'en introduire provisoirement une dans la résolution de la question). A l'intérieur des cas où on utilise une forme bilinéaire, la distinction entre le calcul sur K^n et le calcul sur un ev quelconque me semble essentiellement anecdotique, sous réserve de méconnaissance de la façon dont "pensent" les gens qui privilégient l'interprétation des tenseurs en terme de systèmes de coordonnées, que je comprends à peu près mais qui n'est guère dans les habitudes liées à ma formation de matheux pur. Touriste (d) 9 février 2011 à 14:42 (CET)

La raison de cette (proposition de) typologie, c'est la discussion avec Burakumin, sur le bien fondé de parler de produit scalaire et de métrique dans l'intro : Ils ne sont pas nécessaire à la notion de tenseur, mais sont tellement utilisés qu'on ne peut pas ne pas en parler. ensuite, Il y a un piège énorme dans le fait qu'un tas de gens qui travaillent sans les fioritures que sont les coordonnées covariantes - Il y a des bouquins sur le sujet (là j'ai au moins une référence), le font, non pas parce qu'il n'ont pas besoin de produit scalaire, mais parce que leur base est orthonormale. et puis il y a les autres, et tant qu'à faire, le cas des espaces courbes complétait bien cette typologie.

Du coup, je pense que c'était vraiment un bonne idée de faire cette typologie, dans la mesure ou ça à un impact fondamental sur la façon de travailler :

• Les indices hauts et bas restent séparés
• Les indices hauts et bas sont "identiques"
• Les indices peuvent être montés et descendu à l'aide du tenseur métrique
• Et puis les espaces courbes qui sont à part.

Sinon, sur le reste de la discussion, je ne suis pas sûr que la nuance mathématicien/physicien soit tout à fait pertinente. Peut-être serait-il mieux de parler d'un présentation plus abstraite, vs une présentation plus bottom-up correspondant à des modes de pensée différents des lecteurs. Il serait peut-être bien de faire une bannière en haut de chacun des articles pour expliquer ses spécificités, avec un lien pointant vers l'autre. Ceci dit pour ça,il faudra d'abord que je lise l’autre plus à mon aise. Camion (d) 9 février 2011 à 22:43 (CET)

Plusieurs remarques.

Qqch qui continue de me géner, c'est que bien que tu admettes que le produit scalaire ne soit pas forcément nécessaire aux tenseurs, tu l'utilises comme critère principale de distinction. Et ceci avec le sous-entendu que "les tenseurs SANS produit scalaire c'est un cas isolé (voir dégénéré) d'utilisation" là ou j'aurais exactement dit "les tenseurs AVEC produit scalaire c'est un cas bien particulier d'utilisation". Tout se passe comme si une des premières choses à savoir sur les tenseurs c'était comment les utiliser avec un produit scalaire (et sans, quand on a vraiment pas de bol) alors que dans ma vision, la question du produit scalaire (et donc du passage en coordonnées co/contra pour un même tenseur) est secondaire MEME dans une vision en coordonnées ...

Je rejoint par ailleurs Touriste sur la critique de la typologie proposée. Si je n'ai pas considéré qu'il s'agissait d'un travail inédit, c'est avant tout parce que tu n'introduis pas de terme ou d'usage nouveaux des notions, mais il est clair que mon impression est, comme Touriste, que ce "4" sort de nulle part ... Pour reprendre ton propos, le dernier point est sensé présenter <<... les espaces courbes qui sont à part.>> Mais ce cas n'a absolument rien d'exclusif avec les autres ! Dans un espace courbe :

• les indices hauts et bas restent séparés si je considère une variété quelconque ;
• les indices hauts et bas sont "identiques" si je suis dans un cas (pseudo-)riemmanien et que je me place dans une carte définissant un repère mobile orthonormé ;
• les indices peuvent être montés et descendu à l'aide du tenseur métrique si je suis dans un cas (pseudo-)riemmanien mais que ma carte est a priori quelconque.

Donc comme déjà dit par Tousiste les considérations avec/sans produit scalaire et en/sans champs sont parfaitement ORTHOGONALES.

Ce qu'il faudrait à mon avis dire explicitement c'est avant tout qu'un tenseur peut être défini comme :

• un jeu d'association entre chaque base d'un espace vectoriel donnée et des tableaux à plusieurs indices (supérieur et inférieur) contenant des nombres (appelés coordonnées ou composantes du tenseur dans la base considérée);
• qu'on peut établir une typologie sur les tenseurs basée sur le nombre d'indice sup et inf ;
• que les différents tableaux représentant un même tenseur doivent répondre à des contraintes particulière qu'on énonce par des formules dites "de changement de base" et qui dépendendent du type du tenseur (et donc inversement que déterminer à quelle formule de changement de base répond un tenseur permet de trouver son type)

Aprés ça, on peut dire que des propriétés particulières peuvent être indépendamment apportées à l'espace de base comme un produit scalaire qui permette certaines opérations nouvelles sur les coordonnées. Que tout comme on peut avoir des champs de vecteur sur des espace géométrique, on peut avoir des champs de tenseur sur ces meme espace. Comme historiquement (si je ne m'abuse) la notion de tenseur a été introduite dans ce contexte il est fréquent de voir le mot tenseur utilisé pour parler de champs de tenseurs. Enfin que les champs de tenseurs permettent de dégager de nouvelles notions.

Je vais essayer de faire des modifs quand j'aurais le temps (ce we)--Burakumin (d) 10 février 2011 à 11:38 (CET)

Je voulais pas donner l'impression que le cas sans produit scalaire est isolé, c'est juste que j'ai le sentiment que les deux sont suffisement important pour qu'on mentionne qu'ils existe, avec le cas orthonormé parce qu'il est susceptible de jeter le doute sur le reste. Maintenant, je ne suis pas obstiné. J'aime juste pas qu'on vire un truc brutalement sur une "suspicion" de TI, mais si après examen, vous pensez que c'est pas une bonne idée, vas-y, ravage ;-p

Ceci dit, on n'a pas trop parlé des autres modifications et réorganisations que j'ai apporté à l'article dont certaine vont un peu dans la même ligne Camion (d) 10 février 2011 à 17:41 (CET)

matrice

Je suis en train de réviser l'article, et le titre matrices me laisse perplexe. Je ne vois pas du tout où il veut en venir. J'ai envie de le virer. Pas que ce qu'il dise soit faux, mais ça aurait plus sa place dans un article sur l'algèbre linéaire que sur les tenseurs, et ici, il semble sorti de nulle part. Camion (d) 9 février 2011 à 11:45 (CET)

Il me semble que ça peut se recycler, mais que ça devrait descendre au-dessous de "Formes linéaires" et non rester au-dessus : le plan de cette série d'exemples, c'est :

• Tenseurs d'ordre 1
  • Tenseurs de type (1,0) ("vecteurs")
  • Tenseurs de type (0,1) ("formes linéaires")
• Tenseurs d'ordre 2 (tenseurs qui peuvent être représentés par des matrices)

Mais en effet, retoucher est peut-être bien franchement difficile et je ne serais pas choqué que tu élagues. Touriste (d) 9 février 2011 à 14:48 (CET)

Refonte

Aprés discussion avec Camion et relecture de l'article, j'ai été tout simplement ébahi du nombre de redites qu'il contient et de son aspect patchwork. J'ai commencer à écrire une refonte. Je vais essayer de la mettre en ligne d'ici qq semaines.--Burakumin (d) 12 mars 2011 à 18:03 (CET)

Seulement avec des (EV ou Modules) et (corps ou anneau) ?

je ne sais pas si je dois poser cette question en discussion de Tenseur (mathématiques) ou de Tenseur tout court, mais voilà = j'essaie de savoir si, quand on travaille sur un ensemble de nombres E muni de 2 lois de composition internes (+) et (*) qui n'en font pas un corps commutatif ni même un anneau; mais qui permettent de faire des additions et des multiplications; question: on ne peut pas formellement appeler ces tableaux de nombres des "tenseurs" ni donner aux opérations entre ces tableaux le nom d"'opérations tensorielles", mais alors y a-t-il un autre vocabulaire plus faible?

exemple. Si mon ensemble de nombres ("scalaires") possède une somme commutative, qu'elle n'a pas d'opposé, s'il possède une multiplication commutative mais sans inverse, alors par exemple l'expression

$a_{\gamma }b^{\gamma }=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b^{i}$ dont le résultat est un "scalaire", peut être calculée, mais quel nom lui donner?

on ne peut pas l'appeler "contraction pour un couple de tenseurs", puisqu'il ne s'agit pas de tenseurs, mais alors "contraction pour un couple de XXXX" ? Si quelqu'un connaît un début de réponse, merci d'avance. Michelbailly (d) 25 mai 2011 à 11:29 (CEST)

Suite du sujet refonte

La tentative de refonte sur la page http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Burakumin/Brouillon va dans le bon sens. Pour moi le meilleur livre (un peu ancien) sur le sujet est celui d'André Lichnerowicz (1915-1998) : Éléments de calcul tensoriel, publié initialement chez Armand Colin en 1948 (et dont plusieurs éditions ne comportant que des corrections de pure forme se sont succédé) puis repris aux éditions Jacques Gabay. Un tenseur y est vu tout d'abord comme un élément d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels, puis l'aspect travail sur les composantes y est développé en liaison avec des applications à la mécanique classique, à la relativité etc. C'est à mon avis une référence indispensable qui fait une synthèse entre les parties théoriques indispensables pour comprendre le sujet en profondeur et les applications à la physique. Si ça peut aider, j'ai mis sur mon site un petit cours partiel (partie mathématique) sur le sujet (http://robert.rolland.acrypta.com/telechargements/algebre/tensor.pdf). Je signale aussi que le rang d'un tenseur peut avoir un autre sens que celui d'ordre d'un tenseur qui est donné dans l'article actuellement en ligne. La définition à laquelle je fais référence est la suivante : le rang de $t\in E\otimes F\otimes \cdots$ est le nombre minimal de termes nécessaires à la représentation du tenseur $t$ sous la forme d'une somme de tenseurs élémentaires $x\otimes y\otimes \cdots$.

Robert.Rolland 29 décembre 2011 à 17:33 (CET)

Malheureusement j'ai laissé tombé ma tentative de refonte de cette page-ci (Faudrait que je m'y remette). Ce qu'on trouve sur ma page perso c'est le brouillon pour Tenseur (mathématiques) qui est maintenant un article en ligne.--Burakumin (d) 8 janvier 2012 à 00:20 (CET)

Effectivement, j'ai vu que cela correspondait à Tenseur (mathématiques) en ligne. Il y a maintenant plusieurs articles avec plus ou moins le même thème : tenseur, tenseur (mathématiques), produit tensoriel, champ tensoriel. Il me semble qu'il faudrait revoir l'organisation de tout ceci en tenant compte du niveau et des thèmes. Les articles de base sur lesquels seraient dirigés les autres pourraient par exemple être : Produit tensoriel d'espaces vectoriels (avec le contenu de l'actuel tenseur (mathématiques)), Produit tensoriel de modules (niveau 2 du précédent), applications en physique du produit tensoriel (actuel Tenseur refondu).Robert.Rolland 20 janvier 2012 à 06:33 (CET)

Je me suis finalement relancé dans la refonte du présent article. Pour le moment je rédige un brouillon [[1]]. J'espère pouvoir fournir une première version pouvant être mise en ligne dans la semaine.--Burakumin (d) 29 avril 2012 à 18:54 (CEST)

Ma refonte de l'article tenseur progresse. J'ai essayé de focaliser un peu plus sur la vision en tableau de nombre, présentée je l'espere de manière rigoureuse et toujours mise en relation avec la définition par forme multilinéaire. Je compte déplacer tout ce qui concerne directement les champs de tenseurs (gradient, divergence) dans ... l'article sur les champs de tenseurs justement (auquel il faudrait rajouter des info et des liens sur la dérivé de Lie, la dérivée extérieure ou les dérivées covariantes). Par ailleurs j'ai commencé en parallèle un brouillon sur un sujet en lien : la notation en indice abstrait. Si qqn veut faire des remarques, il est le bienvenu.--Burakumin (d) 9 mai 2012 à 13:25 (CEST)

Je n’ai pas tout lu, mais ce qui me dérange dans cette tentative de refonte, c'est qu’elle semble perdre l’idée qu'un vecteur soit avant tout un objet indépendant d'une base, dont l’expression dépend de cette base. Dire par exemple qu'un tenseur d'ordre 0 est un scalaire me semble incorrect (même si ça se fait souvent) car pour rester dans l'idée de l’indépendance de la base, on devrait parler d'une grandeur scalaire dont l'expression dépend du choix de l'unité. -- Camion (d) 24 novembre 2012 à 14:36 (CET)

Quand je parle de scalaire, j'en parle au sens mathématique: élément d'un corps agissant sur un espace vectoriel. Il n'y a là aucune notion d'unité (physique) puisqu'au niveau mathématique cette notion n'est pas définie. On peut montrer que les tenseurs d'ordre 0 possède une structure de corps (ils doivent être munis d'un produit interne unitaire) qui les rends dés lors canoniquement isomorphes au corps des scalaires (en tant qu'isomorphisme de corps). Il n'y a donc pas énormément d'intérêt de faire deux concepts distincts.

Quant au problème de choisir une unité physique c'est un problème de nature physique justement. Après cela devrait il y avoir un impact sur la modélisation mathématique comme tu sembles le suggérer ? Mon avis est que oui mais :

- en pratique personne en physique ne le fait jamais;

- la seule façon que je vois de le faire correctement ne se situe pas au niveau des tenseurs d'ordre 0.--Burakumin (d) 26 novembre 2012 à 10:03 (CET)

Définition

Il me semble bien que ce n'est pas forcément le même espace vectoriel qu'on prend au départ. Même pas besoin de parler de dual, c'est un espace vectoriel comme un autre — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 77.140.149.195 (discuter), le 31 juillet 2021 à 13:50 (CEST)